Math Labs

Bài 1

Cho PP là một điểm nằm trong tam giác ABCABC đã cho, và gọi DD, EE, FF lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ PP xuống các đường thẳng BCBC, CACA, ABAB. Tìm tất cả các vị trí của PP để BCPD+CAPE+ABPF\dfrac{BC}{PD} + \dfrac{CA}{PE} + \dfrac{AB}{PF} đạt giá trị nhỏ nhất.
Bước 1 trên 5: Chia diện tích tam giác qua PP
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Dù đứng ở đâu bên trong tam giác, ba đường cao hạ xuống các cạnh luôn dựng lại đúng tổng diện tích như cũ — "ngân sách" cố định này chính là điều Cauchy–Schwarz sẽ khai thác.

SABC=12(BC⋅PD+CA⋅PE+AB⋅PF)S_{ABC} = \tfrac12\big(BC\cdot PD + CA\cdot PE + AB\cdot PF\big)
Phân tích chi tiết

Nối PP với ba đỉnh chia △ABC\triangle ABC thành △PBC,△PCA,△PAB\triangle PBC,\triangle PCA,\triangle PAB, có diện tích lần lượt là 12BC⋅PD\tfrac12 BC\cdot PD, 12CA⋅PE\tfrac12 CA\cdot PE, 12AB⋅PF\tfrac12 AB\cdot PF vì PD,PE,PFPD,PE,PF chính là các đường cao tương ứng. Tổng của chúng là diện tích cố định SABCS_{ABC}, không phụ thuộc vị trí của PP bên trong tam giác.