Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2003

Đề thi

Bài 1Cho $A$ là tập con gồm 101 phần tử của $S=\{1,2,\ldots,10^6\}$ . Chứng minh tồn tại các số $t_1,t_2,\ldots,t_{100}$ trong $S$ sao cho $A_j=\{x+t_j\mid x\in A\}$ , với $j=1,2,\ldots,100$ , đôi một rời nhau.Các cách giải: 1
Bài 2Xác định mọi cặp số nguyên dương $(a,b)$ sao cho $\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}$ là một số nguyên dương.Các cách giải: 1
Bài 3Mỗi cặp cạnh đối diện của một lục giác lồi có tính chất: khoảng cách $p$ giữa trung điểm của chúng bằng $\frac{\sqrt3}{2}$ lần tổng độ dài hai cạnh. Chứng minh lục giác là đều góc.Các cách giải: 1
Bài 4Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp. Gọi $P,Q,R$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $D$ xuống các đường thẳng $BC,CA,AB$ . Chứng minh $PQ=QR$ khi và chỉ khi các đường phân giác của góc $ABC$ và $ADC$ cắt nhau trên đoạn $AC$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $n$ là số nguyên dương và $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các số thực. Chứng minh $\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\le\frac{2(n^2-1)}3\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2$ , với đẳng thức khi và chỉ khi $x_1,x_2,\ldots,x_n$ lập thành cấp số cộng.Các cách giải: 1
Bài 6Cho $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh tồn tại số nguyên tố $q$ sao cho với mọi số nguyên $n$ , số $n^p-p$ không chia hết cho $q$ .Các cách giải: 1