リーマンゼータ関数とリーマン予想

この一意性こそが、下のオイラー積が成り立つ理由そのものである：展開して項をまとめると、各 $n^{-s}$ が二重に数えられることも漏れることもなく、ちょうど一度だけ再現される。

存在性は $n$ に関する強い数学的帰納法で証明する。基底段階 $n=2$ はすでに素数なので、主張は成り立つ。すべての整数 $2\le m<n$ が素因数分解できると仮定し、$n$ を考える。$n$ 自身が素数ならそれで終わりであり、そうでなければ $n=ab$ かつ $1<a,b<n$ となり、帰納法の仮定により $a$ と $b$ の両方の素因数分解が得られる。この二つの分解を連結すると $n$ の素因数分解が得られ、帰納段階が完了する。

一意性はユークリッドの補題に基づく：素数 $p$ が $p\mid ab$ を満たすならば $(p\mid a)\lor(p\mid b)$ が成り立つ。これを見るには、$p\nmid a$ と仮定する；このとき $\gcd(p,a)=1$ であるから、ベズーの等式により整数 $x,y$ が存在して $px+ay=1$ となる。両辺に $b$ を掛けると $b=pbx+aby$ を得る。$p\mid ab$ であるから、素数 $p$ は右辺の両方の項を割り切り、したがって $p\mid b$ が成り立つ。

さて、$n$ が二通りの素因数分解 $n=p_1p_2\cdots p_r=q_1q_2\cdots q_s$ を持つとし、それぞれのリストを非減少順に並べておく。$p_1\mid q_1q_2\cdots q_s$ であるから、ユークリッドの補題を繰り返し適用すると $p_1$ はある $q_j$ を割り切り、$q_j$ が素数であることから $p_1=q_j$ となる。この共通因子を両方の積から消去し、より短いリストに対して同じ議論を繰り返すと、有限回の後に $r=s$ となり、二つの分解は項ごとに一致する——したがって $n$ の素因数分解は、因数の順序を除いて一意である。

ユークリッドの古典的な証明（紀元前300年頃）は、有限のリストから背理法で議論する。このページの後半では、オイラーが $s=1$ における調和級数の発散を用いて、同じ事実の第二の解析的証明を与える。

背理法により、素数が有限個 $p_1,p_2,\ldots,p_k$ しかないと仮定する。数 $N=p_1p_2\cdots p_k+1$ を作る。

各 $i$ について、$N$ を $p_i$ で割ると余りは $1$、すなわち $N\equiv 1\pmod{p_i}$ となるので、どの $p_i$ も $N$ を割り切らない。

しかし $N>1$ であるから、上で証明した算術の基本定理により、$N$ は少なくとも一つの素因数 $q$ を持つ。$p_1,\ldots,p_k$ のどれも $N$ を割り切らないので、この $q$ は $q\notin\{p_1,\ldots,p_k\}$ を満たす——完全なはずのリストに含まれない素数が現れ、矛盾である。したがって、どんな有限のリストもすべての素数を含むことはできない：素数は無限に存在する。

各因子 $(1-p^{-s})^{-1} = 1+p^{-s}+p^{-2s}+\cdots$ を等比級数として展開し、すべて掛け合わせる：素因数分解の一意性により、どの $n^{-s}$ も展開した積の中にちょうど一度だけ現れる。この積が無限個の因子を必要とするのは、まさに素数が無限に存在するからであり——これはユークリッドが初等的な方法で証明したのと同じ事実を、解析的な等式の中に詰め込んだものである。

$\operatorname{Re}(s)>1$ を固定し、切り詰めた積 $P_N(s)=\prod_{p\le N}\left(1-p^{-s}\right)^{-1}$ の各因子を、$|p^{-s}|<1$ であることから等比級数として展開する：$(1-p^{-s})^{-1}=1+p^{-s}+p^{-2s}+\cdots$。

これらの等比級数を掛け合わせて展開すると、現れる各項は $n^{-s}$ の形をしており、$n$ はその素因数がすべて $N$ 以下であるような整数である——そのような整数の集合を $S_N$ とする。算術の基本定理により、そのような各 $n$ はちょうど一通りの素数べきの組合せから生じるので、どの項も重複せず、漏れもない：$P_N(s)=\sum_{n\in S_N} n^{-s}$。

$1$ から $N$ までのすべての整数は $S_N$ に属するので、完全な級数と切り詰めた積との差は $S_N$ に属さない整数のみに関わり、それらはすべて $N$ より大きい：$\zeta(s)-P_N(s)=\sum_{n\notin S_N} n^{-s}$、したがって $\left|\zeta(s)-P_N(s)\right|\le\sum_{n>N} n^{-\sigma}$（ここで $\sigma=\operatorname{Re}(s)>1$）。この収束級数の尾部は $N\to\infty$ のとき $0$ に近づくので、$P_N(s)\to\zeta(s)$ となり、無限積は無限和に等しい。

アダマールとド・ラ・ヴァレー・プーサンは1896年に独自にこれを証明し、どちらの証明も $\zeta$ を経由する：この定理は、$\zeta(s)$ が直線 $\operatorname{Re}(s)=1$ 上に零点を持たないことと同値である。この既に証明済みの事実は、リーマン予想（直線 $\operatorname{Re}(s)=\tfrac12$ 以外のどこにも零点がないことを要求する）よりはるかに弱く、それこそこの定理が解決済みでRHが未解決である理由にほかならない。RHは近似の誤差項を、$x/\log x$ 程度の精度から上記のほぼ最適な $\sqrt{x}\log x$ へと錈くするだけである。

素数定理は、チェビシェフ関数 $\psi(x)=\sum_{p^k\le x}\log p$ に関する主張と同値である。この関数は $x$ 以下の各素数べきに、その素数の底の対数で重みを付ける：$\psi(x)\sim x$ を証明することは、（部分和分による通常の議論により）$\pi(x)\sim x/\log x$ を証明することと同値である。

リーマンの明示公式は、$\psi(x)$ をほぼ正確に $\zeta$ の非自明な零点 $\rho=\beta+i\gamma$（すべて $0\le\beta\le1$ を満たす）で表す：$\psi(x)=x-\sum_{\rho}\frac{x^{\rho}}{\rho}-\log(2\pi)-\tfrac12\log(1-x^{-2})$。主要項 $x$ は $\zeta$ が $s=1$ に持つ単純極から来る；他のすべての項は大きさ約 $x^{\beta}$ で振動するので、定理はこの振動する和が $o(x)$ であることを示す問題に帰着する。

この振動する和が $o(x)$ となるのは、まさにどの零点も $\beta=1$ を持たない場合、すなわち $\zeta(1+it)\ne0$ がすべての $t\in\mathbb{R}$ で成り立つ場合である。アダマールとド・ラ・ヴァレー・プーサンは1896年、それぞれ独立に、初等的な三角不等式 $3+4\cos\theta+\cos2\theta\ge0$ を $\sigma\to1^+$ のときの $3\log\zeta(\sigma)+4\log\zeta(\sigma+it)+\log\zeta(\sigma+2it)$ の実部に適用することで、この非消失性を証明した：$1+it$ に零点があれば、この組合せは $-\infty$ に発散せざるを得ず、それは不等式が禁じるところである。

この二つの段階を組み合わせると $\psi(x)=x+o(x)$ が得られ、$\psi$ と $\pi$ を結ぶ部分和分の恒等式によって、これは $\pi(x)\sim x/\log x$、すなわち素数定理へと格上げされる。