三角法

点 $(\cos\theta, \sin\theta)$ は定義により単位円 $x^2+y^2=1$ の上にある——そしてこの方程式こそ、辺の長さが $|\cos\theta|$、$|\sin\theta|$ で斜辺が $1$ の直角三角形に適用された三平方の定理そのものである。この一つの恒等式が、ほとんど他のすべての三角恒等式の源となっている。

$(1,0)$ から反時計回りに角度 $\theta$ だけ回転した点を $P = (\cos\theta, \sin\theta)$ とし、$P$ から水平軸に垂線を下ろして $Q = (\cos\theta, 0)$ を得る。線分 $OP$ は単位円の半径なので $|OP|=1$ である。

直角三角形 $\triangle OPQ$ において、水平の辺 $OQ$ の長さは $|\cos\theta|$、鉛直の辺 $QP$ の長さは $|\sin\theta|$ である。古典的な三平方の定理より $|OQ|^2+|QP|^2=|OP|^2$ となり、$|\cos\theta|^2+|\sin\theta|^2=1^2$ が得られ、これはすべての実数 $\theta$ に対して $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ に簡約される。

三角形を、3つの頂点をすべて通る半径 $R$ の円に内接させる。円周角の定理により、辺 $a$ を見込む角 $A$ は辺 $a$ に対応する中心角の半分であり、これから直接 $a = 2R\sin A$ が得られる——各辺について同じ議論を行うと、共通の比 $2R$ が得られる。

$\triangle ABC$ をその外接円(半径 $R$、中心 $O$)に内接させる。頂点 $B$ を通る直径 $BD$ を引いて $|BD|=2R$ とし、$D$ と $C$ を結ぶ。タレスの定理より、$BD$ が直径なので内接角 $\angle BCD=90°$ である。

角 $A$ が鋭角のとき、$\angle A$ と $\angle BDC$ はどちらも同じ側で弧 $BC$ を見込むため $\angle BDC=A$。直角三角形 $\triangle BCD$ では $\sin A=\sin(\angle BDC)=\dfrac{|BC|}{|BD|}=\dfrac{a}{2R}$ となり、$\dfrac{a}{\sin A}=2R$ が得られる。$A$ が鈍角のとき $\angle BDC=180°-A$ で $\sin(180°-A)=\sin A$ となり、同じ式が得られる。辺 $b$・$c$ に対して繰り返すと $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ が得られる。

これはまさに三平方の定理に補正項を加えたものである:角 $C$ を原点に置き、一辺をx軸上に沿わせると、対頂点は $(a\cos C, a\sin C)$ となる;点 $(b,0)$ までの距離の公式を展開すると $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ が得られる。$C=90°$ のとき $\cos C = 0$ となり、これは $a^2+b^2=c^2$ に戻る——余弦定理は、直角三角形でない三角形のための三平方の定理なのである。

頂点 $C$ を原点 $(0,0)$ に置き、長さ $a$ の辺 $CB$ を正の水平軸に沿わせると $B=(a,0)$。$CA$ の長さが $b$ で水平軸と角 $C$ をなすため、$A$ の座標は $A=(b\cos C, b\sin C)$。

辺 $AB$ の長さ $c$ は $A$ と $B$ のユークリッド距離に等しい。二乗して展開すると: $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2 = b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C = a^2 + b^2(\cos^2 C+\sin^2 C) - 2ab\cos C$。三平方の恒等式 $\cos^2 C+\sin^2 C=1$ を適用すると $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ が得られる。

両辺は同じ微分方程式 $f'(\theta) = i f(\theta)$($f(0)=1$)の解である(右辺を $\frac{d}{d\theta}\cos\theta=-\sin\theta$、$\frac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta$ を使って微分して確認できる)。したがって解の一意性により両辺は等しくなければならない。$\theta=\pi$ とおくと、有名な特別な場合 $e^{i\pi}+1=0$ が得られ、5つの基本定数が一つの式に結びつけられる。

すべての実数 $\theta$ に対して $g(\theta) = e^{-i\theta}(\cos\theta + i\sin\theta)$ を定義する。積の微分則により $g'(\theta) = -i e^{-i\theta}(\cos\theta+i\sin\theta) + e^{-i\theta}(-\sin\theta+i\cos\theta)$ となる。

$i^2=-1$ を使って第1項を展開すると $-i(\cos\theta+i\sin\theta) = -i\cos\theta-i^2\sin\theta = \sin\theta-i\cos\theta$ となる。これを $(-\sin\theta+i\cos\theta)$ に加えると $0$ になるので、すべての $\theta\in\mathbb{R}$ に対して $g'(\theta)=0$。したがって $g$ は定数で $g(\theta)=g(0)=e^{0}(\cos 0+i\sin 0)=1$ となり、整理すると $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ が得られる。