三角形における三角比の関係

既知の角を原点に置いて三角形を座標に配置すると、未知の辺が距離の公式になり、その距離の公式を展開すると、ピタゴラスの和に加えて余分な余弦の項が自動的に生じる。

頂点 $C$ を原点に、頂点 $A$ を正の $x$ 軸上の $(b, 0)$ に($CA = b$ なので)、頂点 $B$ を $(a\cos C, a\sin C)$ に置く——これは $C$ から距離 $a$($CB = a$ なので)にあり、線分 $CA$ との角が $C$ である点である。

辺 $c = AB$ は $A=(b,0)$ と $B=(a\cos C, a\sin C)$ の間の距離であるから、$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (a\sin C)^2$ となる。

この2乗を展開すると:$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$。

$\cos^2 C + \sin^2 C = 1$ であるから、最後の2項は $a^2$ にまとまり、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ が残る。これはまさに $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ である。原点に置く頂点を変えて同じ議論を繰り返すと、$a^2$ と $b^2$ についても同様の公式が得られる。

同じ弧に対する内接角はすべて等しいので、うまく選んだ点での等しい角に置き換えることで、三角形を円の内部の直角三角形に変え、そこでは正弦は弦と直径の単なる比になる。

外心を $O$ とし、$B$ を通る直径を引き、円と再び交わる点を $B'$ とする。$BB'$ は直径であるから、内接角 $\angle BCB'$ は半円に対する角であり、$\angle BCB' = 90°$ となる。

内接角 $\angle BAC$ と $\angle BB'C$ はどちらも同じ弧 $BC$ に対する角である(あるいは $A$ と $B'$ が反対側の弧にあれば補角となるが、その場合も $\sin(180°-x)=\sin x$ により2つの角の正弦は等しい)。したがって $\angle BB'C = A$ またはその補角であり、いずれの場合も $\sin(\angle BB'C) = \sin A$ となる。

直角三角形 $BCB'$($C$ で直角)において、辺 $BC = a$ は $\angle BB'C$ の対辺であり、斜辺 $BB' = 2R$ は直径であるから、$\sin(\angle BB'C) = \dfrac{a}{2R}$ となる。

最後の2つの段階を組み合わせると $\sin A = \dfrac{a}{2R}$、すなわち $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ となる。$A$ または $C$ を通る直径で同じ構成を繰り返すと $\dfrac{b}{\sin B} = 2R$ と $\dfrac{c}{\sin C} = 2R$ が得られ、3つの比すべてが $2R$ に等しくなり、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ が証明される。