定積分

累積面積 $A(x)$ が $x$ に関して増える瞬間的な速さは、動く右端におけるグラフの現在の高さ $f(x)$ に等しい。$A'(x) = f(x)$ がわかれば、任意の原始関数 $F$ は同じ導関数を共有するため、$A(x)$ と $F(x)$ の差は定数になる。

$h \neq 0$ に対し、区間の加法性より $A(x+h) - A(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,dt$ である。$\int_x^{x+h} 1\,dt = h$ だから $\frac{A(x+h) - A(x)}{h} - f(x) = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} [f(t) - f(x)]\,dt$ と書ける。$x$ における $f$ の連続性より、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $\delta > 0$ が存在し、$|t - x| \le |h| < \delta$ ならば $|f(t) - f(x)| < \varepsilon$ となるため $\left|\frac{A(x+h) - A(x)}{h} - f(x)\right| \le \varepsilon$ が従い、$A'(x) = f(x)$ が示される。(2) については $[a, b]$ 上で $(A - F)' = f - f = 0$ より $A(x) - F(x) = C$ となり、$x = a$ を代入して $0 - F(a) = C$、$x = b$ を代入して $A(b) = F(b) - F(a)$ を得る。

原始関数 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ に $[a, b]$ 上でラグランジュの平均値の定理を適用すると、ある $c \in (a, b)$ が存在して $A(b) - A(a) = A'(c)(b - a) = f(c)(b - a)$ となる。幾何学的には、幅 $b - a$・高さ $f(c)$ の長方形は、曲線 $y = f(x)$ の下の領域とちょうど同じ符号付き面積をもつ。

ステップ 1 — 面積関数を定義して FTC を適用する。 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ とおく。FTC より $f$ は $[a,b]$ 上で連続、$(a,b)$ 上で微分可能で $A'(x) = f(x)$。

**ステップ 2 — $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ にラグランジュの平均値の定理を適用する。** $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ が $[a,b]$ 上で連続かつ $(a,b)$ 上で微分可能なので、ある $c \in (a,b)$ が存在して $A(b) - A(a) = A'(c)(b-a) = f(c)(b-a)$。$A(a) = 0$ より $\int_a^b f(x)\,dx = f(c)(b-a)$。

**ステップ 3 — $f$ が平均値をとることを結論づける。** $(b-a) > 0$ で割ると $f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx = \bar{f}$。最大・最小値定理より $f$ は $[a,b]$ 上で最小値 $m$、最大値 $M$ をとる。$m \le \bar{f} \le M$ なので、中間値の定理よりある $c \in (a,b)$ で $f$ が $\bar{f}$ に等しくなることが保証される。

立体を厚さ $\Delta x_i$ の $n$ 個の薄い板にスライスすると、$i$ 番目の板は底面積 $S(x_i^*)$・体積 $S(x_i^*)\,\Delta x_i$ の柱体で近似できる。すべての板を足し合わせるとリーマン和 $\sum_{i=1}^n S(x_i^*)\,\Delta x_i \to \int_a^b S(x)\,dx$ となる。積分値は $S(x)$ のみで決まるため、すべての高さで断面積が等しい2つの立体は同じ体積をもつ（カヴァリエリの原理、1635年）。

ステップ 1 — 薄いスラブに分割する。 $[a,b]$ を $n$ 個の等幅 $\Delta x = (b-a)/n$ の小区間に分割する。$i$ 番目の小区間 $[x_{i-1},x_i]$ では、底面積 $S(x_i^*)$・厚さ $\Delta x$ のスラブで近似し、体積 $S(x_i^*)\,\Delta x$ を得る。

ステップ 2 — リーマン和を作り極限をとる。 全スラブの和：$V_n = \sum_{i=1}^n S(x_i^*)\,\Delta x$。$y = f(x)$ が $[a,b]$ 上で可積分なので、サンプル点 $x_i^*$ によらず $n \to \infty$ のとき収束する：$V = \lim_{n\to\infty} V_n = \int_a^b S(x)\,dx$。

ステップ 3 — 回転体へ適用しカヴァリエリの原理を述べる。 $y = f(x)$ の下の領域を $x$ 軸のまわりに回転させると、断面は半径 $|f(x)|$・面積 $S(x) = \pi[f(x)]^2$ の円板になる。代入すると $V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$。カヴァリエリの原理（1635年）：$x \in [a,b]$ のすべてで $S_A(x) = S_B(x)$ が成り立つ2つの立体は $\int_a^b S_A(x)\,dx = \int_a^b S_B(x)\,dx$、つまり形状によらず体積が等しい。