解法: グラドコフ=パク=ジミンによる二段ベッド予想の明示的反例(2024年)

WiermanとZiff(2011年)のWZハイパーグラフ浸透モデルでは、ハイパーエッジ $e = \{a,b,c\}$ は五つの結果のいずれかに解決し、それぞれ独自の確率を持つ:三つとも連結($p_{abc}$)、どれも連結しない($p_{a|b|c}$)、$b$ と $c$ だけが連結し $a$ が切り離される($p_{a|bc}$)、あるいは $a$ が $b, c$ のちょうど一方に連結しもう一方が切り離される($p_{ab|c}$ または $p_{ac|b}$)。通常のハイパーグラフ浸透のもとでの真の$3$-一様ハイパーエッジは、$a$ がそのハイパーエッジの横断頂点であるとき常に $p_{a|bc} = 0$ を満たす(横断頂点は他の二つの両方に連結するか、どちらにも連結しないかのいずれかであり、決して一方だけに連結することはない)。

GladkovとZimin(2024年、Gladkov, Pak & Zimin 2024年においてGZ24として引用、定理1.5)は、この正確な結果の分布——特に $p_{a|bc} = 0$ が他の四つの確率が真のハイパーエッジと正確に一致することとともに成り立つこと——が、ガジェットの辺とその個々の保持確率をどう選んでも、通常のボンド浸透のもとでいかなる有限のグラフガジェットによっても決して再現され得ないことを証明した。直感的には:通常の辺は一本ずつ独立に失われるため、どんなガジェットの内部でも辺の失われ方のあるパターンが、最終的に $a, b, c$ のうちちょうど一つを切り離し他の二つを連結したままにしてしまい、$p_{a|bc} > 0$ となる——これを完全に避けることは不可能である。

これこそが、ハロムのハイパーグラフの反例がどれほど印象的であっても、素朴な置き換えによって直ちにグラフの反例へと変換できない理由である:$p_{a|bc}$ における不一致は、そのような置き換えが、真のハイパーエッジが禁じる、まさに「間違った種類」の連結イベントをわずかに持ち込んでしまうことを意味する。次のステップでは、この障害が排除されるのではなく、回避され得ることが示される。