解法: グラドコフ=パク=ジミンによる二段ベッド予想の明示的反例(2024年)

$n \ge 3$ かつ $0 < p < 1$ に対して、$n+1$ 個の頂点上に重み付きグラフ $G_n$ を定義する:$n$ 本の辺からなる道 $a = v_0, v_1, \dots, v_n$ に、$a$ と $v_n$ を直接結ぶもう一本の辺を加えたものである。$b := v_1$、$c := v_n$ を二つの「外側」の接続点とする(Gladkov, Pak & Zimin 2024年、補題4.1)。$G_n$ は単純な重み付きグラフであるため、通常のボンド浸透がそのまま適用でき、正確なハイパーエッジになろうとするのではなく——$n$ が大きいときの近似的なハイパーエッジになることで——ステップ3の不可能性を回避する。

短い漸化式による計算(2024年、第5節、補題5.1)により、ガジェット全体(直接の辺を含む)について、辺を閉じるパラメータ $p$ を用いると $\Pr_p(a \leftrightarrow v_n) = \tfrac{1 - p^{2n}}{1+p}$ であり、$n$ が大きいとき指数関数的に $\tfrac{1}{1+p}$ に近づくことが示される。$G_n$ の残りのWZモデルの確率($p_{abc}, p_{a|bc}, p_{ab|c}, p_{ac|b}, p_{a|b|c}$ を $p$ と $n$ に関連づけるもの)についてのさらなる正確な計算と合わせて、著者らは $p = \tfrac12$ において $n \ge 3 \cdot 401 + 1 = 1204$ となればすぐに頑健なハイパーエッジ補題の不等式 $400\, p_{a|bc} \le p_{abc}\, p_{a|b|c} - p_{ab|c}^2$ が成り立つことを直接確認する。

この具体的な値 $n = 1204$ において、ガジェット $G_n$ は $1205$ 個の頂点と $2407$ 本の辺を持ち、平面的であり、前のステップの頑健なハイパーエッジ補題が要求する条件をちょうど満たしている。この一つのガジェットの独立な六つのコピーだけが、ハロムのハイパーグラフの六つのハイパーエッジを置き換えるために必要なすべてであり、これを次のステップで最終的な反例へと組み立てる。