解法: グラドコフ=パク=ジミンによる二段ベッド予想の明示的反例(2024年)

Gladkov、Pak、Ziminの頑健なハイパーエッジ補題(2024年、補題3.2)は、あるハイパーエッジ(またはハイパーエッジを模擬するガジェット)のWZモデルにおける五つの確率が、ガジェットの構成から受け継がれる自然な対称性 $p_{ab|c} = p_{ac|b}$ とともに不等式 $400\, p_{a|bc} \le p_{abc}\, p_{a|b|c} - p_{ab|c}^2$ を満たすならば、そのようなガジェットをハロムのハイパーグラフ $H$ のハイパーエッジに置き換えても、なお $\Pr^{\text{wz}}[u_1 \leftrightarrow u_{10}] < \Pr^{\text{wz}}[u_1 \leftrightarrow u_{10}']$ が成り立つ、すなわち二段ベッド予想を反証するために必要な逆向きの不等式が成り立つ、と主張する。

右辺 $p_{abc}\, p_{a|b|c} - p_{ab|c}^2$ は自動的に非負であり、これはこの設定に適用されたHarris–Kleitman不等式の帰結である(Gladkov 2024年)。したがってこの補題は真に頑健性の主張である:不可能な $p_{a|bc} = 0$ を要求するのではなく、制御された、しかしゼロではない漏れ $p_{a|bc} > 0$ を許容する。証明自体は組合せ論的な対合によって進められる:浸透過程全体の配置が対にされ、「間違った」連結性(同じ階)を有利にする配置が、少なくとも同程度の確率を持つ「正しい」連結性(階をまたぐ)を有利にする相棒と組まされる。これは、ハイパーグラフを通るある固定された参照経路が、各ハイパーエッジの結果とどう相互作用するかについての場合分けによる。

この補題を手にすれば、残る唯一の課題は、五つの確率がこの必要な不等式を満たす実際のグラフガジェットを示すことであり、これがまさに次のステップで構成される。