解法: 多項式法によるキャップ集合問題の解決(クロート=レフ=パック、エレンバーグ=ハイスヴァイト、2016年)

エレンバーグとハイスヴァイト(2017年、命題2、クロート=レフ=パック2016年の補題1を一般化)は、$\alpha+\beta+\gamma=0$ を満たす $\mathbb{F}_q$ の元 $\alpha,\beta,\gamma$ を固定する。$P \in S_n^{\le d}$ がすべての $a \ne b \in A$ に対して $P(\alpha a+\beta b)=0$ を満たすなら、$|\{a \in A : P(-\gamma a) \ne 0\}| \le 2 m_{d/2}$。証明は $P(\alpha x+\beta y)$ を展開する:全次数が $d$ 以下の各単項式は、その2つの部分($x$ 部分または $y$ 部分)のいずれかが次数 $d/2$ 以下であるため、次数 $d/2$ 以下の単項式 $m$ で添字づけられたある多項式 $F_m, G_m$ に対して $P(\alpha x+\beta y) = \sum_{m \in M_n^{d/2}} m(x)F_m(y) + \sum_{m \in M_n^{d/2}} m(y)G_m(x)$ となる。$x=a, y=b \in A$ で評価すると、成分 $B_{ab} := P(\alpha a+\beta b)$ を持つ行列 $B$ は $2m_{d/2}$ 個の階数1行列の和として書け、よって $\operatorname{rank}(B) \le 2m_{d/2}$。