解法: 多項式法によるキャップ集合問題の解決(クロート=レフ=パック、エレンバーグ=ハイスヴァイト、2016年)

エレンバーグとハイスヴァイト(2017年、最終計算)は、$m_{(q-1)n/3}/q^n$ が $\{0,\ldots,q-1\}$ 上の独立な一様確率変数 $n$ 個の和が $(q-1)n/3$ 以下となる確率、すなわちその平均 $(q-1)n/2$ よりはるかに下であることの確率にちょうど等しいことに注目する。標準的な大偏差理論により $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log(m_{(q-1)n/3}/q^n) = -I((q-1)/3)$ が得られる。ここで $I(x) = \sup_\theta \left(\theta x - \log\frac{1+e^\theta+\cdots+e^{(q-1)\theta}}{q}\right)$ は単一の一様な桁のルジャンドル変換レート関数である。キャップ集合の場合として $q=3,\ x=2/3$ を代入し $\theta$ について最適化すると、数値評価 $3e^{-I(2/3)} < 2.756$ が得られる。