解法: 多項式法によるキャップ集合問題の解決(クロート=レフ=パック、エレンバーグ=ハイスヴァイト、2016年)

エレンバーグとハイスヴァイト(2017年、定理4の証明)は、$S_n^{\le d}$ の部分空間で $-A$ の外側で至る所消える多項式からなるものを $V$ とする。$-A$ の外側にある $q^n-|A|$ 個の各点で消えることはそれぞれ1つの線形条件なので、$\dim V \ge m_d - (q^n-|A|)$。ステップ4により、すべての $P \in V$ は $\alpha=\beta=\gamma=1$ での命題2の仮定を自動的に満たすので、命題2は $A$ のうち $P(-a) \ne 0$ となりうる点の個数を評価する。これを $V$ の次元カウントと組み合わせると $m_d - q^n + |A| \le 2m_{d/2}$、すなわち $|A| \le 2m_{d/2} + (q^n - m_d)$ が得られる。最適な分割 $d = 2(q-1)n/3$ を選び、単項式の個数 $m_d$ の対称性を用いると、これはきれいな評価 $|A| \le 3\, m_{(q-1)n/3}$ に帰着する。