解法: 多項式法によるキャップ集合問題の解決(クロート=レフ=パック、エレンバーグ=ハイスヴァイト、2016年)

エレンバーグとハイスヴァイト(2017年、定理4と系5)は命題2を $\alpha=\beta=\gamma=1$ に特殊化する(これは確かに $\alpha+\beta+\gamma=0$ を満たす)。$A$ 内で $a_1+a_2+a_3=0$ の非自明な解を持たない集合 $A$ とは:$a_1,a_2 \in A$ に対し、解 $a_3 = -a_1-a_2$ が $A$ 内に存在するのは $a_1=a_2=a_3$ の場合に限られることを意味する。したがって、$-A$ の外側で至る所消える任意の多項式 $P$ について、命題2の仮定 $P(a+b)=0$ は $a \ne b \in A$ で自動的に満たされる。なぜなら、このとき $a+b$ は $-A$ の外側にあるからである:これがまさに $a+b \notin -A \text{ for all } a \ne b \in A$。