解法: ガウス=ヴァンツェルの定理:円分体による正多角形の作図可能性

$3$ は $17$ を法とする原始根であるから(そのべき $3^0,3^1,\ldots,3^{15}$ は $17$ を法とするすべての非零剰余をちょうど1回ずつ巡る)、$16$ 個の非自明な1のべき根は巡回的な順序 $\zeta^{3^0},\zeta^{3^1},\ldots,\zeta^{3^{15}}$(ここで $\zeta=\zeta_{17}$)で並べることができる。ガウスは2項おきの周期 $\eta_{1,0}=\sum_{j\text{ even}}\zeta^{3^j}$ と $\eta_{1,1}=\sum_{j\text{ odd}}\zeta^{3^j}$ を定義した。それぞれ $8$ 個の1のべき根の和である。

円分方程式 $1+\zeta+\zeta^2+\cdots+\zeta^{16}=0$ より、非自明な $16$ 個の根の和は $-1$ であるから、$\eta_{1,0}+\eta_{1,1}=-1$ となる。指数の乗法構造を使った直接的な(やや面倒な)計算により $\eta_{1,0}\eta_{1,1}=-4$ が示される。2つの数の和と積の両方がわかれば、それらは $t^2-(\eta_{1,0}+\eta_{1,1})t+\eta_{1,0}\eta_{1,1}=0$、すなわち $t^2+t-4=0$ の2つの根であると確定する——これは有理数(実際には整数)係数の何の変哲もない二次方程式であり、二次方程式の解の公式で解け、必要なのは $\sqrt{17}$ だけである。

したがって $\eta_{1,0}$ が生成する体は $\mathbb{Q}$ 上で次数 $2$ を持つ:これがガウスが $\mathbb{Q}$ から $\mathbb{Q}(\zeta_{17})$ まで平方根だけを使って登らなければならないはしごの最初の段である。