解法: ガウス=ヴァンツェルの定理:円分体による正多角形の作図可能性

ガウスの1796〜1801年の研究は十分性を確立した:$\varphi(n)$ が $2$ の冪であるときはいつでも、正 $n$ 角形は作図可能である。彼はその条件が必要条件でもあると、証明を発表せずに主張した。ヴァンツェルは、角の三等分と立方体倍積を解決したのと同じ1837年の論文の中でこの不足していた方向を補い、作図可能な実数は $\mathbb{Q}$ 上で次数が $2$ の冪であるという自らの一般的な判定条件を再利用した。

鍵となる観察は、$\zeta_n$ が体 $\mathbb{Q}(\cos(2\pi/n))$ 上で二次方程式 $\zeta_n^2 - 2\cos(2\pi/n)\,\zeta_n + 1 = 0$ を満たす($\zeta_n + \zeta_n^{-1} = 2\cos(2\pi/n)$ と $\zeta_n\zeta_n^{-1}=1$ から得られる)ことであり、したがって $[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}(\cos(2\pi/n))] = 2$ がちょうど成り立つ($\zeta_n$ は実数でないが $\cos(2\pi/n)$ は実数なので $1$ ではあり得ない)。塔の法則により $\varphi(n) = [\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}] = 2\cdot[\mathbb{Q}(\cos(2\pi/n)):\mathbb{Q}]$ となるので、作図可能な実長さ $\cos(2\pi/n)$ は $\mathbb{Q}$ 上で次数 $\varphi(n)/2$ を持つ。

ヴァンツェルの一般的な作図可能性の判定条件により、$\cos(2\pi/n)$ が作図可能であるためにはこの次数が $2$ の冪でなければならず——これは $\varphi(n)$ 自体が $2$ の冪であることを強制する。ガウスの十分性と合わせて、これによりガウス=ヴァンツェルの定理が完成する:正 $n$ 角形が定規とコンパスで作図可能であるのは、$n=2^k p_1\cdots p_m$($p_i$ は相異なるフェルマー素数)であるとき、かつそのときに限る(Wantzel 1837, §IV)。