解法: ガウス=ヴァンツェルの定理:円分体による正多角形の作図可能性

ステップ2で使ったのと同じ和と積の議論が、あらゆる規模で繰り返される。$\eta_{1,0}$ と $\eta_{1,1}$(それぞれ $8$ 個の根の和)を4つの $4$ 項周期に分割すると、和と積は $\eta_{1,0},\eta_{1,1}$ と有理数で表せるので、$4$ 項周期の各ペアは $\mathbb{Q}(\eta_{1,0})$ 上で二次方程式を満たす。その $4$ 項周期を $2$ 項周期に分割すると議論がもう一度繰り返され、$2$ 項周期(例えば $\zeta+\zeta^{16}=2\cos(2\pi/17)$)を個々の根 $\zeta$ と $\zeta^{16}$ に分割すると塔が閉じる(Gauss 1801, Disquisitiones Arithmeticae, Art. 354–361)。

こうして、各ステップで平方根を1つ添加する体の塔 $\mathbb{Q}=F_0\subset F_1\subset F_2\subset F_3\subset F_4=\mathbb{Q}(\zeta_{17})$ が得られ、$i=1,2,3,4$ に対して $[F_i:F_{i-1}]=2$ となる。塔の法則により $[\mathbb{Q}(\zeta_{17}):\mathbb{Q}]=2^4=16$ となり、ステップ1で得た円分方程式の次数と一致する——作図が完結し、余分なステップを使っていないことの整合性チェックである。

塔のすべての段階が二次拡大であり、二次拡大は(角の三等分や立方体倍積に使った一般理論と同様に)定規とコンパスの作図ステップにちょうど対応するので、$\cos(2\pi/17)$——ひいては正 $17$ 角形——は作図可能である。