解法: ガウス=ヴァンツェルの定理:円分体による正多角形の作図可能性

正 $n$ 角形が定規とコンパスで作図可能であるのは、まさに1の原始 $n$ 乗根 $\zeta_n=e^{2\pi i/n}$ が作図可能な複素数であるとき、同値に $\cos(2\pi/n)$ が作図可能であるときである。$\mathbb{Q}$ 上の $\zeta_n$ の最小多項式は $n$ 次の円分多項式であり、次数は $\varphi(n)$(オイラーのトーシェント関数、$1$ から $n$ までのうち $n$ と互いに素な整数の個数)であるから、$[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}]=\varphi(n)$ となる。

$n=17$ に用いた議論はそのまま一般化される:$\varphi(n)$ が $2$ の冪であるときはいつでも、乗法群 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$(1のべき根同士の置換の仕方を支配する)の位数は $2$ の冪となり、位数 $2^s$ の群は常に、直前の半分の大きさの部分群からなる鎖を持つ。この部分群の鎖は、ステップ2〜3で使ったのとまさに同じ種類の入れ子になった周期を生み出し、$\mathbb{Q}$ から $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ までの二次拡大の塔を与え、したがって作図可能性が従う。

こうして『どの正多角形が作図可能か』という問いは、ただ1つの数論的関数に関する問いに完全に帰着する:どのような $n$ に対して $\varphi(n)$ は $2$ の冪になるのか。次のステップでは $\varphi(n)$ を因数分解することでこれに答える。