解法: ガウス=ヴァンツェルの定理:円分体による正多角形の作図可能性
ざっくり言うと
から まで塔を1段ずつ下り、途中の各二次方程式を普通の解の公式で解いていくと、最終的に整数、加法、そして入れ子になった平方根だけからなる の明示的な表式が得られる。見た目は威圧的だが、その中のどの平方根も1つ1つコンパスで直接描けるものである。
この公式は、抽象的な体の理論の議論が単なる手品ではなかったことの、具体的で検証可能な証拠である——二次方程式の塔を降りていけば、原理的には紙の上に印を付けられる正真正銘の数が出てくるのである。
詳しい解説
ステップ3の二次方程式の塔を明示的に解く——各周期を前段階を用いて二次方程式の解の公式で表し、 まで代入し続ける——ことで、ガウスは閉じた形 を得た(Gauss 1801, Disquisitiones Arithmeticae, Art. 365)。使われている操作——加法、減法、乗法、除法、そしてすでに作図された長さの平方根——はすべて定規とコンパスのステップに直接対応するので、この公式自体が作図可能性の証明書となっている。
これは単なる数値的な興味深さではない:ステップ1〜3の推論の連鎖全体の成果であり、直接代入によって検証できるほど具体的になったものである。1893年、ハーバート・リッチモンドはこの代数を明示的な定規とコンパスによる幾何学的作図に翻訳し直し、この公式を実現する段階的な図を与えた。
に対する十分性を明示的な作図によって示した後、残りのステップではガウスの議論を一般化する:どのような の値がこのような平方根拡大の塔を許すのか、そして(ヴァンツェルにより)なぜ他のいかなる値もそれを許さないのかを示す。
- 閉じた形の(根号による)表現
- 整数と演算 、および 乗根を取る操作だけから作られる数の公式——無限和や名前のない極限は含まない——であり、原理的には手で計算したり幾何学的に作図したりできる。