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解法: 立方体倍積問題に対するヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

ステップ 4/5: 結論:33 は 22 の冪ではないから立方体は倍積できない
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ざっくり言うと

ここで2つの事実が衝突する。ステップ2は、作図可能なあらゆる数の次数は 1,2,4,8,16,…1, 2, 4, 8, 16,\ldots でなければならない——常に2の冪である——と述べる。ステップ3は 23\sqrt[3]{2} の次数がちょうど 33 であると計算した。そして 33 はそのリストには決して現れない。

したがって 23\sqrt[3]{2} は定規とコンパスの手の届かないところにある。どんなに巧妙に試みても——定規とコンパスの操作のどんな列も、決してこの長さにぴったりたどり着くことはない。なぜならその代数的な『署名』は、そもそも最初から間違った形をしているからである。

[Q(23):Q]=3≠2m  ⟹  23 is not constructible[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3 \ne 2^m \implies \sqrt[3]{2} \text{ is not constructible}
詳しい解説

ステップ2は、作図可能な実数はすべてある整数 m≥0m\ge0 に対して Q\mathbb{Q} 上で次数 2m2^m を持つことを証明し、ステップ3は [Q(23):Q]=3[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3 であることを計算した。33 は 11 より大きい奇数であるから、どんな mm に対しても 2m2^m に等しくなり得ない。したがって 23\sqrt[3]{2} は定規とコンパスでは作図不可能であり、単位立方体の2倍の体積を持つ立方体の辺は 23\sqrt[3]{2} に等しくなければならないから、定規とコンパスのみによる立方体倍積は不可能である(Wantzel 1837, §III)。

これにより、少なくとも紀元前5世紀から作図の試みに抵抗し続けてきた問題が決着する。またこれは、ヴァンツェルの方法の強力さも示している:可能な作図の(無限の)空間をしらみつぶしに調べる代わりに、証明はそれらすべてを一挙に排除する単一の代数的障害を示すのである。

三等分問題と同様に、この不可能性は目盛りのない古典的な定規とコンパスに特有のものである。より強力な道具を使えばこの問題は直接解ける。その点は最後のステップで取り上げる。