解法: 立方体倍積問題に対するヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

メナイクモス(紀元前350年頃)は、円錐曲線を用いた立方体倍積問題の最古の解法を与えたとされる。2つの放物線 $x^2=y$ と $y^2=2x$ を取る。最初の式から $y=x^2$ を2番目の式に代入すると $x^4=2x$、すなわち $x\neq0$ に対して $x^3=2$ が得られる。したがってその交点の $x$ 座標はちょうど $\sqrt[3]{2}$ である——しかし放物線は目盛りのない定規とコンパスでは描けないので、これは後のヴァンツェルの証明と矛盾しない。それはより多くの曲線が道具として許される、別の問いに答えているのである。

他の古代の解法には、アルキタスによる驚くべき三次元曲線(円柱、円錐、トーラスの交わりであり、彼の業績の現代的な再構成として示される)や、三等分問題と同様にネウシス(目盛り付き定規)による解法があり、これらはヴァンツェルの論文では扱われていない。これらはすべてヴァンツェルより2000年も前のものである。1837年に変わったのは新しい作図法を見つけたことではなく、定規とコンパスのみを用いた作図法が存在し得ないことを初めて証明したことである。

ヴァンツェルは立方体倍積と角の三等分を同じ1837年の論文の中で、同じ核となる発想——体の拡大の次数は $2$ の冪でなければならない——を用いて扱った。これは彼によるガウスの多角形定理の完成と合わせて、体の理論に基づく推論を用いて純粋に幾何学的な問いに決着をつけた最も早い応用例の一つとなった。それは、体の拡大とべき根による可解性に関するガロアの着想が広く知られるようになる数年前のことである。