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解法: 立方体倍積問題に対するヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

ステップ 3/5: アイゼンシュタインの判定法により x3−2x^3-2 は既約
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ざっくり言うと

アイゼンシュタインの判定法は素早い整除性の検定である:ある素数を選び、それが最高次係数を除く多項式のすべての係数を割り切り、かつその平方が定数項を割り切らないことを確認する。そのような素数が存在すれば、その多項式はより小さな整数係数の部分に分解できない——一度限りの繰り返さない鍵を持つ錠前が、2つの単純な錠前には分解できないのと少し似ている。

x3−2x^3-2 については、素数 22 がほとんど偶然のようにその役目を果たす:多項式の(最高次係数 11 を除く)『隠れた』係数は 0,0,−20, 0, -2 だけであり、22 はそのすべてを割り切るが、44 は −2-2 を割り切らない。

P(x)=x3−2,2∣0, 2∣(−2), 2∤1, 4∤(−2)  ⟹  P irreducibleP(x) = x^3 - 2,\quad 2\mid 0,\ 2\mid(-2),\ 2\nmid 1,\ 4\nmid(-2) \implies P \text{ irreducible}
詳しい解説

アイゼンシュタインの判定法はこう述べる:整数係数の多項式 anxn+⋯+a1x+a0a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0 について、ある素数 pp が係数 a0,…,an−1a_0,\ldots,a_{n-1} すべてを割り切るが最高次係数 ana_n は割り切らず、かつ p2p^2 が a0a_0 を割り切らないならば、その多項式は Q\mathbb{Q} 上既約である。

これを P(x)=x3−2P(x)=x^3-2(係数 a3=1, a2=0, a1=0, a0=−2a_3=1,\ a_2=0,\ a_1=0,\ a_0=-2)に適用する。p=2p=2 を取ると、a2=0a_2=0、a1=0a_1=0、a0=−2a_0=-2 をすべて割り切るが、最高次係数 a3=1a_3=1 は割り切らず、p2=4p^2=4 は a0=−2a_0=-2 を割り切らない。すべての条件が満たされるので、P(x)=x3−2P(x)=x^3-2 は Q\mathbb{Q} 上既約である(この論法は、1850年のアイゼンシュタインによるこの判定法の一般的な定式化に先立ち、すでにヴァンツェルの1837年の論文(§III)に同等な形で現れている)。

PP は 23\sqrt[3]{2} の最小多項式であり次数 33 を持つから、[Q(23):Q]=3[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3 となる。これはまさに最終ステップに必要な数であり、今度はステップ2で得られた許される次数のリスト 1,2,4,8,…1,2,4,8,\ldots と比較されることになる。

このステップの用語
アイゼンシュタインの判定法
Q\mathbb{Q} 上での既約性に対する十分条件:ある素数 pp が多項式の最高次係数を除くすべての係数を割り切り、かつ p2p^2 が定数項を割り切らないならば、その多項式はより低次の整数係数多項式には分解できない。
このステップで使う知識
環と体