解法: 立方体倍積問題に対するヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

$F_0=\mathbb{Q}$ として座標を固定する。定規とコンパスによる作図の一般理論と同様に、新しく作図可能な各点は二直線、直線と円、または二円の交点であり、いずれも現在の体 $F_{i-1}$ に係数を持つ。対応する連立方程式を解くと、座標は $F_{i-1}$ 自身か、ある $d_i\in F_{i-1}$ による二次拡大 $F_i=F_{i-1}(\sqrt{d_i})$ のどちらかに属する。したがって有限個の作図ステップの列は、$[F_i:F_{i-1}]\in\{1,2\}$ を満たす塔 $\mathbb{Q} = F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_k$ を与える(Wantzel 1837, §I)。

塔の法則により、次数は連鎖に沿って掛け合わされる:$[F_k:\mathbb{Q}] = \prod_{i=1}^k [F_i:F_{i-1}] = 2^k$。実数 $\alpha$ が作図可能であれば、あるそのような塔について $\alpha\in F_k$ であるから $\mathbb{Q}(\alpha)\subseteq F_k$ となり、再び塔の法則を適用すると $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ は $2^k$ を割り切ることがわかる。$2$ の冪の約数はそれ自身も $2$ の冪であるから、ある整数 $m\ge 0$ に対して $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 2^m$ となる。

この必要条件こそが、証明の残りの部分で必要な唯一の道具である:$\sqrt[3]{2}$ が作図不可能であることを示すには、$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]$ を計算し、それが $2$ の冪でないことを確かめればよい。