解法: 立方体倍積問題に対するヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

古典的な『立方体倍積』(あるいはデロス)問題は、単位線分から出発して、体積が単位立方体の2倍である立方体の辺 $x$ を定規とコンパスで作図することを求める:$x^3 = 2$、すなわち $x=\sqrt[3]{2}$ であり、これは $P(x) = x^3 - 2$ の根である。この問題はキオスのヒポクラテス(紀元前5世紀)の時代にはすでに古くから知られており、彼はこれを $1$ と $2$ の間の2つの比例中項を求める問題に帰着させたが、2000年以上にわたって定規とコンパスによる解法に抵抗し続けた。

ヴァンツェルの1837年の論文は、角の三等分に使ったのと同じ方法でこれを解決する:作図可能性を代数的な次数の条件に翻訳し、$x=\sqrt[3]{2}$ がそれを満たすかどうかを調べるのである。残りのステップではこれを実行する:まず作図可能な数は $\mathbb{Q}$ 上で次数が $2$ の冪であるという一般的な判定条件を示し、次に $P(x)=x^3-2$ が $\mathbb{Q}$ 上既約であるという事実から $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3$——$2$ の冪ではない——を導く。

角の三等分問題とは異なり、ここでは検証すべき数は $\sqrt[3]{2}$ ただ1つだけであり、これがヴァンツェルの2つの古典的な不可能性証明のうちより簡潔な方である理由である。