解法: 反復吸収法によるKang–Kelly–Kühn–Methuku–Osthusの漸近的証明(2021年)

Kang、Kelly、Kühn、Methuku、Osthus(2023年、1.2節、定理1.2および1.3)は、カーンの予測を確認する定量的な安定性結果を証明する。定理1.2は、すべての $\delta > 0$ に対しある $n_0, \sigma > 0$ が存在して、$n \ge n_0$ のとき、最大次数 $\Delta(\mathcal{H}) \le (1-\delta)n$ かつサイズ $(1\pm\delta)\sqrt{n}$ の辺が高々 $(1-3\delta)n$ 本である任意の $n$ 頂点線形超グラフ $\mathcal{H}$ は $\chi'(\mathcal{H}) \le (1-\sigma)n$ を満たすと述べる。

実際、安定性は単なるおまけの系ではない:主証明の内部で、$\mathcal{H}$ が有限射影平面から離れており(第5節で処理)、次数が $n$ に近い頂点を持たない(第4節と第7節で吸収と $1$ 因子分解により処理)ときにはいつでも、余裕 $(1-\sigma)n$ こそがニブル法と局所的に疎な彩色のステップに色を使い果たすことなく完了するための十分な余地を与えるのである。