解法: Dehn不変量:四面体と立方体はハサミ合同ではない(1900年)

$\theta = \arccos(1/3)$ とする。恒等式 $\cos((n+1)\theta) = 2\cos\theta\cos(n\theta) - \cos((n-1)\theta)$ を用いた帰納法により、すべての $n \ge 1$ に対して $\cos(n\theta) = a_n/3^n$($3 \nmid a_n$ を満たすある整数 $a_n$)であることが示される:基礎段階 $a_1 = 1$ は明らかであり、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 9a_{n-1}$ から $a_{n+1} \equiv 2a_n \pmod 3$ が得られ、$2$ が $3$ を法として可逆であるため、$a_n$ がゼロでない限りこれが $0$ になることはない。

次に、背理法のために $\theta/\pi = p/q$(整数 $p, q$、$q \ge 1$)であると仮定する。このとき $q\theta = p\pi$ であるから $\cos(q\theta) = \cos(p\pi) = (-1)^p = \pm 1$ となる。しかし補題は $\cos(q\theta) = a_q/3^q$($3 \nmid a_q$)を与え、$a_q = \pm 3^q$ を強いる——これは $q \ge 1$ であるから明らかに $3$ で割り切れる整数であり、$3 \nmid a_q$ に矛盾する。この矛盾は $\theta/\pi$ が無理数であること、すなわち $\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q}$ において $[\theta] \ne 0$ であることを示す。

この議論(本質的には、$\pi$ の有理数倍における三角関数の有理値に関する、現在ニーヴンの定理と呼ばれるものの $\cos\theta = 1/3$ の場合)こそが、次のステップで正四面体の $\operatorname{Dehn}$ を計算するために必要な、欠けていたピースである。