解法: Dehn不変量:四面体と立方体はハサミ合同ではない(1900年)

多面体 $P$ に対し、$\ell(e)$ と $\theta(e)$ を各辺 $e$ の長さと二面角とする。Dehnは $\operatorname{Dehn}(P) = \sum_e \ell(e) \otimes [\theta(e)]$ を定義する。これはテンソル積 $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$(長さを $\mathbb{Q}$ 双線形に、角度を $\pi$ の有理数倍を法として結びつける)の元である。$\pi\mathbb{Q}$ を法として扱うことが本質的である:これにより $\pi$ の有理数倍が何も寄与しなくなり、角度の和が直角や全角になっても分割を妨げないという事実と整合する。

テンソル積 $\otimes_{\mathbb{Q}}$ こそが、これを扱いにくい数の組ではなく本物の検証可能な不変量たらしめるものである:それは $\ell \otimes [\theta_1 + \theta_2] = \ell \otimes [\theta_1] + \ell \otimes [\theta_2]$ および有理数 $q$ に対して $(q\ell) \otimes [\theta] = \ell \otimes [q\theta]$ であることを定め、長さが角度とちょうど双線形なペアリングのように相互作用し、$\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ の二つの元が $\mathbb{Q}$ 上の通常の線形代数によって等しいかどうか比較できるようにする。

次のステップでは、長さと角度のこの特定の組み合わせを、すべての辺にわたって足し合わせたものが、そもそもなぜ不変量と呼ばれるに値するのかを示す:それは多面体が片に切り分けられ、再び組み立て直されても変わってはならない。