解法: Dehn不変量:四面体と立方体はハサミ合同ではない(1900年)

立方体のすべての二面角は $\pi/2$ であり、$\pi$ の有理数倍であるから、すべての辺について $\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q}$ において $[\theta(e)] = 0$ となり、したがって $\operatorname{Dehn}(\text{cube}) = 0$ である。これは立方体の辺の長さにかかわらず成り立つ。長さはすでにゼロである項に掛かるだけだからである。$\operatorname{Dehn}$ が分割に関して加法的である(ステップ3)ため、実際に立方体とハサミ合同であるすべての立体——例えば直方体や、ボヤイ・ゲルヴィンによって分解された多角形を底面とする直角柱——も同様にDehn不変量が $0$ でなければならない。