解法: Dehn不変量:四面体と立方体はハサミ合同ではない(1900年)

$P$ が有限個の多面体片 $P_1, \ldots, P_k$ に切断され $Q$ に組み立て直されるならば、(新たな各内部辺が $2\pi$ または $\pi$ に和する角度対を寄与し、それらが $\pi\mathbb{Q}$ を法として消えること、また元の各辺の角度が各片にわたって加法的に分割されることを追跡することで)$\operatorname{Dehn}(P) = \sum_i \operatorname{Dehn}(P_i) = \operatorname{Dehn}(Q)$ が直接確かめられる。したがって $\operatorname{Dehn}$ は体積とちょうど同じようにハサミ合同の下で不変であるが、厳密により多くの情報を持つ。