解法: Dehn不変量:四面体と立方体はハサミ合同ではない(1900年)

正四面体では、六つの辺すべてにおける二面角が $\theta = \arccos(1/3)$ に等しく、これはステップ5で $\pi$ の倍数として無理数であることが証明されているため、$\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q}$ において $[\theta] \ne 0$ である。六つの辺はすべて等しい正の長さ $\ell$ を持つので $\operatorname{Dehn}(\text{tetrahedron}) = 6\ell \otimes [\theta]$ であり、これは $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ において非零である。なぜなら $\ell \ne 0$ が非零のクラス $[\theta]$ と組み合わさっており、$\mathbb{Q}$ ベクトル空間の設定ではそのようなテンソルは二つの因子のどちらかがゼロでない限りゼロに崩れることはないからである。

$\operatorname{Dehn}(\text{cube}) = 0 \ne \operatorname{Dehn}(\text{tetrahedron})$(ステップ4対このステップ)であり、$\operatorname{Dehn}$ が分割不変量である(ステップ3)ため、いかなる立方体も同じ体積の正四面体とハサミ合同にはなり得ない——これはヒルベルトの第三問題に否定的に答え、多角形に対する二次元のウォレス・ボヤイ・ゲルヴィンの定理とは異なり、体積だけでは三次元におけるハサミ合同類を決定しないことを示す。