解法: レインボー木によるリンゲル予想の証明(2020年)

この予想が求めるのは厳密な辺分解である：$n$ 本の辺を持つ木 $T$ は $n+1$ 頂点を持ち、$K_{2n+1}$ は $n(2n+1)$ 本の辺を持つので、積 $n \cdot (2n+1)$ がちょうど一致し、分解は $T$ のちょうど $2n+1$ 個のコピーを使い $K_{2n+1}$ の各辺を一度ずつ覆わなければならない。Montgomery–Pokrovskiy–Sudakov（Geom. Funct. Anal. 2021、定理1.2）はこれを十分大きなすべての $n$ で、$T$ の形状や最大次数に制限なしに証明した。

この結果は、論文の序論が概観する部分的成果の長い系譜の上に立つ：Ringel の予想は以前、特別な族（古典的な道と星、caterpillar、高々 $4$ 枚の葉を持つ木、Joos–Kim–Kühn–Osthus による次数有界の木）について知られており、Ferber–Samotij および Adamaszek–Allen–Grosu–Hladký は最大次数 $O(n/\log n)$ の木に対し $K_{2n+1}$ のほぼ全域を覆う近似版を証明した。残っていた開いた部分——そして予想を難しくするもの——は極端な場合の合併である：まばらで、次数列が任意で、構造的に不均質な木。

証明は $K_{2n+1}$ を直接分解しない。代わりに、より強く一見無関係な主張——$K_{2n+1}$ の巡回距離によるすべての辺彩色が $T$ の rainbow コピーを含むこと（次のステップ）——を証明し、十分大きなすべての $n$ について分解を系として回復する。