解法: レインボー木によるリンゲル予想の証明(2020年)

定理2.1(ステップ7)とコツィヒの巡回シフトの観察(ステップ2)を組み合わせる:十分大きい $n$ に対し、ND彩色された $K_{2n+1}$ は与えられた任意の $n$ 本の辺を持つ木 $T$ の虹色コピー $\hat{T}$ を含み、その $2n+1$ 回の巡回シフト $\hat{T}_0,\ldots,\hat{T}_{2n}$ は互いに辺素であり(シフトは辺を同じ色の別の辺へ写すだけで、$\hat{T}$ は各色を1回使うため)、合わせて $K_{2n+1}$ の $n(2n+1)$ 本の辺すべてを覆う。これは定理1.2を証明する:十分大きいすべての $n$ に対し $K_{2n+1}$ は $T$ の $2n+1$ 個のコピーに分解でき、リンゲルの1963年の予想を確認する。同じ議論は同時に、ND彩色における虹色コピーに関するコツィヒの関連予想も証明し、それまでのすべてのアプローチを制限していた次数有界の制約なしに、完全グラフを任意次数の全域規模の部分グラフに分解する初の結果を与える。