解法: ワーリングの問題に対するヒルベルトの存在証明(1909年)

鍵となる帰着補題(Nathanson、第3章;彼のテキストに従う講義ノート、例えば Baxter「Waring's Problem in General」で再説されている)は次を述べる:正の有理数 $a_1,\dots,a_M$ が存在し、すべての十分大きな整数 $n\ge n_0$ が非負整数 $y_1,\dots,y_M$ を用いて $n=\sum_{i=1}^M a_iy_i^k$ と書けるならば、$g(k)$ は有限である。証明は短い:$q$ を $a_1,\dots,a_M$ の最小公分母とすると、各 $i$ について $qa_i$ は正の整数であるから、$qn=\sum_i(qa_i)y_i^k$ は、すべての $n\ge n_0$ に対して $\sum_i qa_i$ 個の非負 $k$ 乗数の和である。

すべての整数 $N\ge qn_0$ は、$n\ge n_0$ と $0\le s\le q-1$ を用いて $N=qn+s$ と書けるので、$N$ は $\sum_i qa_i+(q-1)$ 個の $k$ 乗数の和である(余分な $s\le q-1$ は高々 $q-1$ 個の $1^k=1$ で寄与される)。残る有限個の小さな整数 $N<qn_0$ はそれぞれ個別に有限個の $k$ 乗数の和である(最悪の場合 $N$ 個の一)ので、全体として有限な $g(k)$ が存在する。

これにより、ワーリングの問題は純粋に代数的な課題に帰着する:各 $k$ に対して、正の有理数 $a_i$ とすべての大きな整数を $\sum a_iy_i^k$ と書く方法を示すことである。次のステップは、ヒルベルトの中心的な恒等式を通じて、まさにこれを与える。