解法: ワーリングの問題に対するヒルベルトの存在証明(1909年)

ヒルベルトの恒等式(Nathanson の証明を提示する講義、例えば Baxter の「Additive Number Theory Seminar」ノート、定理1、で述べられている通り)は次のように読める:すべての $k\ge1$ と $r\ge1$ に対して、整数 $M$、正の有理数 $a_1,\dots,a_M$、そして整数 $b_{i,j}$($i=1,\dots,M$、$j=1,\dots,r$)が存在し、実変数 $x_1,\dots,x_r$ について恒等的に $(x_1^2+\cdots+x_r^2)^k=\sum_{i=1}^M a_i(b_{i,1}x_1+\cdots+b_{i,r}x_r)^{2k}$ が成り立つ。

まさにこの形の古典的な手作りの実例はヒルベルト以前から存在する:$r=4$ で、Liouville の $k=2$ の恒等式 $6(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)^2=\sum_{i<j}(x_i+x_j)^4+\sum_{i<j}(x_i-x_j)^4$ は $g(4)\le53$ を与える;Fleck の $k=3$ の恒等式は $x_i\pm x_j\pm x_l$、$x_i\pm x_j$、$x_i^6$ の六乗を含む;Hurwitz の $k=4$ の恒等式は八乗を含む。それぞれが、特定の組 $(k,r=4)$ に対するヒルベルトの一般的な恒等式の特殊な場合である。

任意の $k$ に対してこのような恒等式が存在することは、平均化を通じて理解できる:$u=(u_1,\dots,u_r)$ が $\mathbb{R}^r$ 内の単位球面 $\|u\|=1$ 上を一様に動くときの $(u\cdot x)^{2k}=(u_1x_1+\cdots+u_rx_r)^{2k}$ の平均値を考える。回転対称性により、この平均は $\|x\|^{2k}=(x_1^2+\cdots+x_r^2)^k$ にのみ依存し、明示的な正の定数 $c_{r,k}$ に対して連続的な積分恒等式 $(x_1^2+\cdots+x_r^2)^k=c_{r,k}\int_{\|u\|=1}(u\cdot x)^{2k}\,d\sigma(u)$ を与える。ヒルベルトの代数的恒等式は、この連続的な平均の有限で離散化された版である——球面積分を、有理数の重み $a_i$ を持つ有限個の方向 $u^{(i)}=(b_{i,1},\dots,b_{i,r})$ にわたる有限の重み付き和で置き換え、この特定の次数 $2k$ の被積分関数に対して積分を正確に再現する(球面デザイン・数値積分公式の理論における古典的な手法である)。