解法: ワーリングの問題に対するヒルベルトの存在証明(1909年)

このステップは意図的に凝縮されている:ヒルベルトの1909年の完全な議論(Mathematische Annalen 67)は、偶数の $k$ だけでなくすべての整数 $k\ge2$ に対して $g(k)<\infty$ を確立する。これは、各段階で適切に選ばれた変数の個数 $r$ を用いた同じ球面平均化恒等式による $k$ に関する強い帰納法と、すべてのより小さな指数がすでに有限の $g$ の値を持つという帰納法の仮定を組み合わせたものである(Nathanson の教科書における定理3.6、「ヒルベルト・ワーリングの定理:非負の $k$ 乗数の集合は、すべての正の整数 $k$ に対して有限位数の基底である」)。我々はここで、Ellison の1971年の概説(『Waring's Problem』、American Mathematical Monthly 78)に沿って、この技術的な帰納法を要約するにとどめ、場合分けごとの整理作業を完全に再現することはしない。

Ellison や後の解説(例えば Rademacher–Toeplitz)によって明確にされている重要な構造的ポイントは、ステップ3の球面平均化恒等式を超える本当に新しいアイデアは何も必要ないということである:帰納法の中で変化するのは、ラグランジュの(あるいは同様のより一般的な)表現定理がどの補助的な整数を供給するか、そして恒等式が何個の変数 $r$ で適用されるかだけである。証明全体の数学的内容はステップ2〜4に捉えられている;このステップは「偶数指数に対して成り立つ」ことを「すべての指数に対して成り立つ」ことへと変える技術的な足場である。

すべての $k\ge2$ に対して $g(k)<\infty$ が確立されたことで、ヒルベルト・ワーリングの定理が証明された。ヒルベルトの証明は完全に定性的である:$g(k)$ に対する明示的な数値的上界は一切与えず、その有限性のみを与える——これはヒルベルトの同時代の人々が注目に値すると考えた点であり、明示的な上界を伴わない存在証明は、1900年頃の数学界の一部でなお論争の的であったからである。