解法: ワーリングの問題に対するヒルベルトの存在証明(1909年)

ヒルベルトの1909年の証明は、すべての $k$ に対して $g(k)<\infty$ を確立するが、$g(k)$、$M$、あるいは彼の恒等式における定数 $a_i,b_{i,j}$ の $k$ の関数としての使える公式や数値的上界は一切示さない(Wolfram MathWorld や複数の二次資料は、ヒルベルトの元の議論が、完全に書き下すと特に扱いにくい高多重度の多重積分を伴うものであったと記述している;Rademacher と Toeplitz による1957年の解説書『The Enjoyment of Mathematics』は、恒等式をより扱いやすくするために書き直したが、それでも鋭い数値的上界は与えなかった)。$g(k)$ に対する初めての真に明示的な上界は、はるか後の1953年に G. Rieger によってもたらされ、(非常に弱い)明示的だが非常に弱い上界を与えた。これはヒルベルトの元の数値ではなく、ヒルベルトの方法の簡略化を用いたものである。

この定性的な性格は、隙間ではなく、実際の方法論的選択を反映している:球面平均化恒等式は本質的に存在の議論(正の積分が非零である、あるいは正の有理数結合が存在する)であり、それを明示的な数値に変えるには、ヒルベルトが行わなかった追加の別個の組合せ論的作業が必要である。ここでは歴史的な文脈も重要である——このような趣の存在証明(不変式論における1890年のヒルベルトの有限基底定理が、それ以前の最も有名な例である)は、構成的な方法を望む数学者たちの間で論争の的であり、ヒルベルトのワーリングの問題の証明も同じ非構成的な精神を引き継いでいた。

この定性的な隙間こそが、後の1920年の Hardy–Littlewood の円周法が大きな指数に対して埋めたものである:有限性を再証明する代わりに、それは母関数 $F(z)=\sum_{a\ge0}z^{a^k}$ の単位円周りの周回積分を、「主要」弧と「副次」弧に分けて用いることで、計数問題を解析的に直接攻撃し、$g(k)$ とそれに関連する量 $G(k)$(すべての十分大きな整数に必要な $k$ 乗数の個数)の両方について、存在性と、しばしばほぼ最適な明示的な数値上界を与える。Vinogradov、後に Wooley が円周法をさらに精密化し、今日では $g(k)$ は非常に広い範囲の $k$ について正確に知られており、一般には公式 $g(k)=2^k+\lfloor(3/2)^k\rfloor-2$ によって予想されている。