解法: ワーリングの問題に対するヒルベルトの存在証明(1909年)

ステップ 4/7: ラグランジュの四平方定理と組み合わせる:すべての

y^k

が収まるべき場所に収まる

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

ヒルベルトの恒等式で $r=4$ とする。ラグランジュの四平方定理により各非負整数 $y$ は $y=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$ と書けるので、代入すると整数 $z_i$ を用いて $y^k=\sum_i a_i z_i^{2k}$ を得る。これは値 $y^k$ に対する有用な有理数結合恒等式だが、指数 $2k$ についてステップ2が仮定する、各整数 $n$ 自身の表示にはまだなっていない。したがってこの関係はヒルベルトの帰納法の一要素であり、 $g(2k)<\infty$ の単独の証明ではない。

y^k = \sum_{i=1}^{M} a_i\, z_i^{2k},\qquad z_i = b_{i,1}x_1+\cdots+b_{i,4}x_4,\ \ y=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2

詳しい解説

四平方表示をヒルベルトの恒等式に代入すると、すべての非負整数 $y$ について $y^k=\sum_i a_i z_i^{2k}$ が得られる。論理的な範囲に注意が必要である:左辺は任意の整数ではなく $k$ 乗数である。したがって、この式だけから指数 $2k$ を目標とするステップ2を適用することはできない。ヒルベルトの完全な証明は、この恒等式をさらなる帰納法と補助的な表示と組み合わせる。次のステップではその追加の帰納法を記し、上の恒等式だけで偶数の場合が終わるとは主張しない。