ゼータ関数のオイラー積公式

内容

$\mathrm{Re}(s)>1$ のとき、リーマンゼータ関数は $\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}$ を満たす。積はすべての素数 $p$ にわたる。

なぜ正しいのか?

すべての正の整数は素因数に一意に分解されるので、すべての $n$ について $1/n^s$ を足し合わせることは、各素数について独立に、それが $n$ に何回現れるかを選ぶことと同じである ― これはまさに各素数に対して幾何級数 $\sum_{k\ge0} p^{-ks} = (1-p^{-s})^{-1}$ が符号化していることである。

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