素数定理

内容

$\pi(x)$ を $x$ 以下の素数の個数とする。このとき $x\to\infty$ で $\pi(x) \sim \dfrac{x}{\ln x}$、すなわち $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)\ln x}{x} = 1$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

大きな数 $x$ の近くでは、ランダムに選んだ整数が素数である確率はおよそ $1/\ln x$ である ― 素数は数が大きくなるにつれ対数的な速さで疎になっていき、多項式的など、より単純な速さではない。

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