リウヴィルの定理（複素解析）

内容

有界な整関数は定数に限る。すなわち、$f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が複素平面 $\mathbb{C}$ 全体で正則であり、ある実定数 $M \ge 0$ が存在してすべての $z \in \mathbb{C}$ に対して $|f(z)| \le M$ が成り立つならば、$f$ は定数関数である。

なぜ正しいのか?

実数直線 $\mathbb{R}$ 上では、$\sin x$ のような滑らかな関数は $-1$ と $1$ の間に留まりながら永遠に振動し続けることができる。しかし複素平面 $\mathbb{C}$ では、正則関数はそのように振る舞えない。平均値の性質により、任意の点での値はその点を中心とする任意に大きな半径 $R$ の円周上の厳密な平均値にならなければならないからである。もし関数が $\mathbb{C}$ 全体で半径 $M$ の円板内に閉じ込められているなら、どんどん大きな円周上で平均をとることで導関数がゼロ以外の値をとる余地がなくなる——定数でない整関数が少しでも変化するためには、どこかの方向へ限りなく増大しなければならない（例えば $|\sin(iy)| = \sinh|y| \to \infty$ のように）。

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