球の体積と表面積の公式（アルキメデス）

内容

半径 $r$ の球の体積は $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$、表面積は $A = 4\pi r^2$ であり、いずれも底面の半径 $r$、高さ $2r$ の外接直円柱の体積 $2\pi r^3$ および全表面積 $6\pi r^2$ の $\dfrac{2}{3}$ に等しい。

なぜ正しいのか?

半径 $r$ の半球と、底面の半径 $r$・高さ $r$ の直円柱から底面の半径 $r$・高さ $r$ の逆向きの円錐をくり抜いた立体とを、底面からの高さ $z$ の水平面で切る。ピタゴラスの定理により、半球の切り口である円板は半径 $\sqrt{r^2 - z^2}$、面積 $\pi(r^2 - z^2)$ をもち、くり抜かれた円柱の円環状の切り口の面積 $\pi r^2 - \pi z^2$ と完全に一致する。すべての水平断面の面積が等しいので、半球の体積は $\pi r^3 - \dfrac{1}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3$ となり、球全体の体積は $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ となる。

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