定理証明済み

カヴァリエリの原理

内容

三次元空間内の二つの立体が平行な二平面 $z = a$ と $z = b$ の間に挟まれており、それらに平行な任意の平面 $z = t$ （ $a \le t \le b$ ）が二つの立体と交わってできる断面の面積がつねに等しい（ $A_1(t) = A_2(t)$ ）ならば、二つの立体の体積は等しい。すなわち $V_1 = V_2$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

高さ $b - a$ の薄い硬貨の同じ束を二つ思い浮かべよう。一方の束を横にずらして傾けたり曲げたりしても、高さ $t$ における水平な切り口はつねに同じ硬貨の面積 $A_1(t) = A_2(t)$ を切り取っており、硬貨を水平にスライドさせても体積が増えたり減ったりすることはない。したがって全体の体積 $V_1 = V_2$ は変わらない。

証明の概略

フビニの定理（または積分法における断面積からの体積公式）により、 $z = a$ と $z = b$ の間に挟まれ、高さ $z = t$ における可積分な断面積が $A_i(t)$ である立体の体積は定積分 $V_i = \int_a^b A_i(t)\,dt$ で与えられる。すべての $t \in [a, b]$ に対して $A_1(t) = A_2(t)$ であるから、区間 $[a, b]$ 上での積分も等しく、 $V_1 = \int_a^b A_1(t)\,dt = \int_a^b A_2(t)\,dt = V_2$ が成り立つ。

この定理を使うトピック

多面体とその体積球・円柱・円錐定積分

参考文献

Bonaventura Cavalieri (1635). Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota
Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics