← 戻る ライブラリ › 幾何学 › 立体幾何学 12年生
球・円柱・円錐 高校3年で学ぶ3つの回転面。直線や弧を軸のまわりに回転させると円柱・円錐・球ができる。面積と体積の公式がどこから来るかを見る。
直観 多面体から回転体へ 立方体や角錐は平らな面で囲まれている。直線や弧を軸のまわりに回転させると、面はどこでも曲がった回転面 になる。最も単純な3つ——円柱、円錐、球——は中学でも形として見てきたが、ここでは正確な回転の規則から作り直し、公式を暗記ではなく導く。
母線を軸のまわりに270°掃引する 中高 3つの回転面 定義: 円柱面
Δ \Delta Δ ℓ \ell ℓ Δ \Delta Δ r r r ℓ \ell ℓ Δ \Delta Δ r r r 円柱面 ができる。Δ \Delta Δ h h h r r r h h h 円柱 が切り取られる。
定義: 円錐面
O O O Δ \Delta Δ O O O ℓ \ell ℓ O O O Δ \Delta Δ α \alpha α ℓ \ell ℓ Δ \Delta Δ O O O α \alpha α 円錐面 ができる。Δ \Delta Δ O O O h h h O O O h h h r = h tan α r = h\tan\alpha r = h tan α l = r 2 + h 2 l = \sqrt{r^2+h^2} l = r 2 + h 2 円錐 が切り取られる。
定義: 球面
O O O r r r O O O r r r 球面 とは、O O O r r r r r r 球体 は球面が囲む立体領域 { M : O M ≤ r } \{M : OM \le r\} { M : O M ≤ r }
3つの回転体の表面積と体積 立体 側面積 全表面積 体積 円柱 (r, h) S x q = 2 π r h S_{xq}=2\pi rh S x q = 2 π r h S t p = 2 π r ( r + h ) S_{tp}=2\pi r(r+h) S tp = 2 π r ( r + h ) V = π r 2 h V=\pi r^2h V = π r 2 h 円錐 (r, h, 母線 l) S x q = π r l S_{xq}=\pi rl S x q = π r l S t p = π r ( r + l ) S_{tp}=\pi r(r+l) S tp = π r ( r + l ) V = 1 3 π r 2 h V=\frac{1}{3}\pi r^2h V = 3 1 π r 2 h 球 (r) — S = 4 π r 2 S=4\pi r^2 S = 4 π r 2 V = 4 3 π r 3 V=\frac{4}{3}\pi r^3 V = 3 4 π r 3
半径 r r r V sphere = 4 3 π r 3 V_{\text{sphere}}=\frac{4}{3}\pi r^3 V sphere = 3 4 π r 3 S = 4 π r 2 S=4\pi r^2 S = 4 π r 2
なぜ正しいのか? アルキメデスは半径 r r r r r r 2 r 2r 2 r 2 3 \frac{2}{3} 3 2 V sphere = 2 3 ⋅ ( 2 π r 3 ) = 4 3 π r 3 V_{\text{sphere}}=\frac{2}{3}\cdot(2\pi r^3)=\frac{4}{3}\pi r^3 V sphere = 3 2 ⋅ ( 2 π r 3 ) = 3 4 π r 3
証明 球に適用すると、半径 r r r r r r r r r r r r x x x π ( r 2 − x 2 ) \pi(r^2-x^2) π ( r 2 − x 2 ) π r 2 − π x 2 \pi r^2-\pi x^2 π r 2 − π x 2 π r 2 ⋅ r − 1 3 π r 2 ⋅ r = 2 3 π r 3 \pi r^2\cdot r-\frac{1}{3}\pi r^2\cdot r=\frac{2}{3}\pi r^3 π r 2 ⋅ r − 3 1 π r 2 ⋅ r = 3 2 π r 3 V sphere = 4 3 π r 3 V_{\text{sphere}}=\frac{4}{3}\pi r^3 V sphere = 3 4 π r 3 V sphere ( r ) V_{\text{sphere}}(r) V sphere ( r ) r r r S = 4 π r 2 S=4\pi r^2 S = 4 π r 2
半円を回転させた球面 例: 円錐・球・円柱:比 1 : 2 : 3
半径 r r r 2 r 2r 2 r r r r r r r r r r 2 r 2r 2 r
解答 V cone = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = 2 3 π r 3 V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi r^2(2r)=\frac{2}{3}\pi r^3 V cone = 3 1 π r 2 ( 2 r ) = 3 2 π r 3 V sphere = 4 3 π r 3 V_{\text{sphere}}=\frac{4}{3}\pi r^3 V sphere = 3 4 π r 3 V cylinder = π r 2 ( 2 r ) = 2 π r 3 V_{\text{cylinder}}=\pi r^2(2r)=2\pi r^3 V cylinder = π r 2 ( 2 r ) = 2 π r 3 2 3 π r 3 \frac{2}{3}\pi r^3 3 2 π r 3 1 : 2 : 3 1 : 2 : 3 1 : 2 : 3 r r r 2 π r ⋅ 2 r = 4 π r 2 2\pi r\cdot 2r=4\pi r^2 2 π r ⋅ 2 r = 4 π r 2 S = 4 π r 2 S=4\pi r^2 S = 4 π r 2
例: 半球形の端部を持つ圧力ガスタンクの体積
半径 r = 0.30 m r = 0.30\text{ m} r = 0.30 m L = 1.20 m L = 1.20\text{ m} L = 1.20 m r r r
解答 ステップ1 — 各部分を特定する。 タンクは1つの円柱(半径 r r r L L L r r r
ステップ2 — 各体積を計算する。 V cylinder = π r 2 L = π ( 0.30 ) 2 ( 1.20 ) = 0.108 π m 3 V_{\text{cylinder}} = \pi r^2 L = \pi(0.30)^2(1.20) = 0.108\pi\text{ m}^3 V cylinder = π r 2 L = π ( 0.30 ) 2 ( 1.20 ) = 0.108 π m 3 V sphere = 4 3 π r 3 = 4 3 π ( 0.30 ) 3 = 0.036 π m 3 V_{\text{sphere}} = \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{4}{3}\pi(0.30)^3 = 0.036\pi\text{ m}^3 V sphere = 3 4 π r 3 = 3 4 π ( 0.30 ) 3 = 0.036 π m 3
ステップ3 — 各部分を合計する。 V total = V cylinder + V sphere = ( 0.108 + 0.036 ) π = 0.144 π ≈ 0.452 m 3 V_{\text{total}} = V_{\text{cylinder}} + V_{\text{sphere}} = (0.108 + 0.036)\pi = 0.144\pi \approx 0.452\text{ m}^3 V total = V cylinder + V sphere = ( 0.108 + 0.036 ) π = 0.144 π ≈ 0.452 m 3 V = π r 2 ( L + 4 3 r ) V = \pi r^2(L + \tfrac{4}{3}r) V = π r 2 ( L + 3 4 r )
歴史的ノート
アルキメデス(紀元前3世紀)は著書『球と円柱について』で、球とそれに外接する円柱の体積比が 2 : 3 2:3 2 : 3
シラクサのアルキメデス
大学 積分で体積公式を証明する 高さが等しい2つの立体が、どの高さでも断面の面積が等しいならば、その2つの立体の体積は等しい。
なぜ正しいのか? 体積は高さに関する断面積の積分 V = ∫ 0 h S ( x ) d x V=\int_0^h S(x)\,dx V = ∫ 0 h S ( x ) d x x x x S 1 ( x ) = S 2 ( x ) S_1(x)=S_2(x) S 1 ( x ) = S 2 ( x )
証明 球に適用すると、半径 r r r r r r r r r r r r x x x π ( r 2 − x 2 ) \pi(r^2-x^2) π ( r 2 − x 2 ) π r 2 − π x 2 \pi r^2-\pi x^2 π r 2 − π x 2 π r 2 ⋅ r − 1 3 π r 2 ⋅ r = 2 3 π r 3 \pi r^2\cdot r-\frac{1}{3}\pi r^2\cdot r=\frac{2}{3}\pi r^3 π r 2 ⋅ r − 3 1 π r 2 ⋅ r = 3 2 π r 3
V cylinder = π r 2 h , V cone = 1 3 π r 2 h , V sphere = 4 3 π r 3 V_{\text{cylinder}} = \pi r^2 h, \qquad V_{\text{cone}} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h, \qquad V_{\text{sphere}} = \tfrac{4}{3}\pi r^3 V cylinder = π r 2 h , V cone = 3 1 π r 2 h , V sphere = 3 4 π r 3 V sphere = 2 ∫ 0 r π ( r 2 − x 2 ) d x = 2 ⋅ 2 3 π r 3 = 4 3 π r 3 V_{\text{sphere}} = 2\int_0^r \pi\left(r^2-x^2\right)dx = 2\cdot\frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3 V sphere = 2 ∫ 0 r π ( r 2 − x 2 ) d x = 2 ⋅ 3 2 π r 3 = 3 4 π r 3 発展 球を超えて:他の回転二次曲面 球は円の回転面である。他の円錐曲線を軸のまわりに回転させると、さらに別の二次曲面が得られる。楕円からは回転楕円体、放物線からは回転放物面、そして双曲線をその実軸のまわりに回転させると一葉回転双曲面 になる——二重線織面(各点を通る直線が2つの族で乗っている)であり、冷却塔や歯車の形に使われる。曲がっていながら直線の梁で組み立てられるからだ。球と違い曲率は一定ではなく、ここから話は微分幾何(微分幾何学 を参照)へつながる。
一葉双曲面 よくある誤り. 「球面」(S = 4 π r 2 S=4\pi r^2 S = 4 π r 2 V = 4 3 π r 3 V=\frac{4}{3}\pi r^3 V = 3 4 π r 3 半径 r r r 直径 をそのまま代入してしまうこと——与えられた長さが r r r 2 r 2r 2 r 半径 r r r h h h
V = π r 2 h V=\pi r^2h V = π r 2 h V = 2 π r h V=2\pi rh V = 2 π r h V = 1 3 π r 2 h V=\frac{1}{3}\pi r^2h V = 3 1 π r 2 h V = 4 3 π r 3 V=\frac{4}{3}\pi r^3 V = 3 4 π r 3 中心 O O O r r r
O O O r r r O O O r r r 6つの平面で囲まれた立体 それと交わる直径のまわりに円全体を回転させて掃いた面 半径 r r r r r r 2 r 2r 2 r
1 2 \frac{1}{2} 2 1 2 3 \frac{2}{3} 3 2 3 4 \frac{3}{4} 4 3 π 4 \frac{\pi}{4} 4 π カヴァリエリの原理が球の体積公式を正当化できるのはなぜか。
半球と円柱引く円錐は、どの高さでも断面積が等しく、したがって体積も等しいから すべての球は外接する立方体と同じ表面積を持つから 球と円柱は面の数が同じだから 体積は半径だけに依存し、高さには依存しないから