ヴィノグラードフは1937年、円周法を用いて、十分大きいすべての奇数が三つの素数の和であることを証明した——しかし彼の証明は「十分大きい」に対する明示的な限界を与えなかった。数十年の研究によって閾値は実効的になり、その後小さくなっていった:2002年までに劉と王はそれを $C\approx e^{3100}\approx 10^{1342}$ 程度まで引き下げたが、これはより小さいすべての奇数をコンピュータで確認することが物理的に不可能なほど大きな数である(ビッグバン以来のピコ秒の数よりも多い)。ヘルフゴットの目標は新しい定性的な主張を証明することではなく——それは1937年に解決済みであった——閾値 $C$ を、それ以下では直接計算が引き継げるほど十分に縮小し、最終的に5より大きいすべての奇数 $n$ について完全な主張を無条件に真とすることであった。