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ステップ 4/5: マイナーアーク:ヴォーンの恒等式と大きな篩によるより鋭い評価
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ざっくり言うと

マイナーアークでは、S(α)S(\alpha) は「ランダム」な和のように振る舞い、それゆえ小さいはずだが、これを十分強い指数で厳密に証明することが、閾値を 10130010^{1300} 未満に下げる主な障害であった。ヘルフゴットは、より鋭い「対数を含まない」評価を発展させた——これは S(α)/nS(\alpha)/n の評価が、ヴォーンの恒等式による Λ\Lambda の通常の分解から入り込む余分な log⁡n\log n の因子なしに、qq(近くの有理数の分母)のみに依存することを意味し、大きな篩型の不等式や、バーバン・ヴェホフ・グラハムの平滑化篩から適応された手法と組み合わされている。これらのより鋭い評価こそが、天文学的に大きな nn を必要とせず、nn が 102710^{27} ほど小さくてもマイナーアークの誤差を十分小さく保てる理由である。

∣S(α)∣≪nq1/2(log⁡n)c(“log-free” in the exponent of q), for α∈m|S(\alpha)| \ll \frac{n}{q^{1/2}}(\log n)^{c} \quad \text{(``log-free'' in the exponent of } q\text{), for } \alpha \in \mathfrak{m}
詳しい解説

メジャーアークとマイナーアークはその境界で異なる振る舞いをするため、ヘルフゴットはさらに「中間」アーク——標準的なメジャー・マイナーの扱いが効率を失う部分——を、それぞれに合わせた評価とともに導入する。メジャーアークの主項(ステップ3)を、これらマイナーアークおよび中間アークの誤差評価(すべて完全に明示的で、あらゆる暗黙の定数が数値的に追跡されている)と組み合わせることで、無条件の主張が得られる:R(n)>0R(n)>0、したがって nn は5より大きいすべての奇数 n≥1027n \ge 10^{27} について三つの素数の和である。