メジャーアークにおける第二の技術的革新は、ヘルフゴットが古典的な扱いで用いられる鋭いカットオフの代わりにガウス平滑化重み $\eta(t)=e^{-t^2/2}$ を用いたことである。ガウス重み付き指数和のメリン変換は放物柱関数を導入し、ヘルフゴットは文献に存在しなかったため鞍点法によって新しい完全に明示的な評価を導出しなければならなかった。明示的な $L$ 関数の零点データをこれらの平滑化評価と組み合わせることで、期待される特異級数 $\mathfrak{S}(n)\cdot n^2/2$ に一致するメジャーアークの寄与が、マイナーアークが制御されれば圧倒されるほど十分小さい誤差の範囲内で得られる——ただし $n\ge 10^{27}$ である場合に限る。