隔たりを埋める:三項ゴールドバッハ予想、無条件に(ヘルフゴット、2013年)

ステップ 2/5: 円周法:数え上げを積分に変える

ざっくり言うと

素数をフォン・マンゴルト関数 $\Lambda$ で重み付けすると、 $n=p_1+p_2+p_3$ と書く方法の数は、まさに単位円上での $S(\alpha)^3 e(-n\alpha)$ の積分に等しい。ここで $S(\alpha)=\sum_p\Lambda(p)e(\alpha p)$ は「素数を検出する」指数和である。これにより加法的整数論は調和解析へと変わる: $R(n)>0$ を示すことは、 $\alpha$ が $[0,1)$ を動くときに $S(\alpha)$ がどう振る舞うかを理解することに帰着し、これは自然に、 $S(\alpha)$ が大きく構造を持つ場所(分母の小さい有理数の近く——「メジャーアーク」)と、小さく本質的にランダムであるべき場所(「マイナーアーク」)に分かれる。

R(n) = \sum_{p_1+p_2+p_3=n} \Lambda(p_1)\Lambda(p_2)\Lambda(p_3) = \int_0^1 S(\alpha)^3 e(-n\alpha)\,d\alpha,\qquad S(\alpha)=\sum_{p\le n}\Lambda(p)e(\alpha p)

詳しい解説

単位区間は、メジャーアーク $\mathfrak{M}$ (あるしきい値までの $q$ をもつ有理数 $a/q$ の小さな近傍)とマイナーアーク $\mathfrak{m}$ (それ以外すべて)に分割される。 $R(n)=\int_{\mathfrak{M}} + \int_{\mathfrak{m}}$ と分けると、戦略は、メジャーアークの積分が明示的な主項 $\mathfrak{S}(n)\cdot n^2/2$ (正の定数 $\mathfrak{S}(n)$ 、いわゆる「特異級数」に、期待される大きさの次数を掛けたもの)を与える一方、マイナーアークの積分が証明可能な形でより小さい誤差項であることを示すことである——これがまさに続く二つのステップで取り組まれる二つの問題である。