8 年级

代数式与恒等式

由变量和运算构成的式子,以及对所有取值都成立的恒等式。

直观像搭乐高一样构建代数式

代数式的搭建方式就像搭乐高模型:先从几块基本积木开始——代表未知或变化量的数字和字母——再用运算 $+,-,\times,\div$ 和乘方把它们拼接起来。字母 $x$ 并不是什么可怕的谜团,它只是一块贴了标签、可以代表任意数的积木。当若干这样的积木组合起来后,规律就会显现:无论字母被替换成哪个数,某些组合方式总是以同样的方式化简。这些可靠的规律就叫做恒等式,正是它们让代数变得强大而非繁琐。

曲线

y=(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1

:恒等式

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

取

a=x, b=1

时,呈现为一条可以逐点追踪的曲线。

中学单项式、多项式与七个重要恒等式

定义: 单项式、多项式、次数

单项式是数与变量按非负整数次幂相乘所得的单一乘积,例如 $3x^2y$ 。多项式是有限多个单项式之和,例如 $x^2+2x+1$ ;和式中的每个单项式称为一项。单项式的次数是其变量指数之和(因此 $3x^2y$ 的次数为 $3$ ),多项式的次数是各项中最大的次数。

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

这里 $a$ 和 $b$ 代表任意两个数或表达式; $2ab$ 是学生最容易遗漏的交叉项。这个恒等式说明,对和求平方绝不像分别对每一部分求平方那么简单——交叉项 $2ab$ 必须总是加上。

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

这个恒等式,即两个平方之差,可以双向解读:从左到右是展开一个乘积,从右到左则是把平方差重新分解为乘积——这是解方程时最常用的方向。

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

七个重要代数恒等式
名称	恒等式
和的平方	$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
差的平方	$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
平方差	$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
和的立方	$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
差的立方	$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
两数立方和	$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
两数立方差	$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

中学两个定理:代数与几何两种证明

定理: 和与差的平方

对所有实数 $a,b$ : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 且 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 。

为什么成立?

把 $(a+b)^2$ 当作普通乘法来展开,可以避免写成 $(a+b)^2=a^2+b^2$ 这一常见错误;这个恒等式让容易遗漏的交叉项 $2ab$ 不可能被忘记。

证明

第一步(通过直接展开的代数证明)。两次使用分配律, $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$ ,因为 $a\cdot b$ 与 $b\cdot a$ 是同一个乘积被数了两次。

第二步(通过面积的几何证明)。画一个边长为 $a+b$ 的正方形。在离某个角距离 $a$ 处各画一条水平线和一条竖直线。这把大正方形分成四块:一个边长为 $a$ 的正方形(面积 $a^2$ ),一个边长为 $b$ 的正方形(面积 $b^2$ ),以及两个尺寸为 $a\times b$ 的矩形(每个面积为 $ab$ )。把四块面积相加得到 $a^2+2ab+b^2$ ,由于这四块恰好拼成原来的正方形,这个和必须等于 $(a+b)^2$ 。

第三步(平方差版本,通过代换)。在第一个恒等式中把 $b$ 换成 $-b$ ,得到 $(a-b)^2=(a+(-b))^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ,因此甚至不需要另一幅几何图——代数自动把结果转移过来。

定理: 两数立方和与立方差

对所有实数 $a,b$ : $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ 且 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ 。

为什么成立?

与平方差不同,立方和或立方差不能只用一次因式分解;二次因式 $a^2\pm ab+b^2$ 是不可避免的,认清这一模式能让学生分解那些看起来无法分解的式子。

证明

第一步(通过展开右边的代数证明)。展开 $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3$ 。中间的项 $a^2b$ 与 $-a^2b$ 相消, $ab^2$ 与 $-ab^2$ 也相消,恰好剩下 $a^3-b^3$ 。

第二步(通过体积的几何证明)。取一个棱长为 $a$ 的立方体(体积 $a^3$ ),从一角去掉一个棱长为 $b$ 的小立方体(体积 $b^3$ );剩下的立体体积为 $a^3-b^3$ 。这个剩余立体可以切成三块厚度均为 $a-b$ 的长方体薄片: $a\times a\times(a-b)$ 的薄片、 $a\times b\times(a-b)$ 的薄片,以及 $b\times b\times(a-b)$ 的薄片。它们的体积之和为 $(a-b)a^2+(a-b)ab+(a-b)b^2=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ,恰好与剩余体积相符。

第三步(立方和版本,通过代换)。在立方差恒等式中把 $b$ 换成 $-b$ ,得到 $a^3-(-b)^3=(a-(-b))(a^2+a(-b)+(-b)^2)$ ,化简后得 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ 。

中学实际应用与典型例题

在课堂之外,恒等式是计算的捷径。工程师展开 $(L+\Delta L)^2$ 来估算梁长度的微小变化 $\Delta L$ 对截面积的影响,用的正是和的平方恒等式。在计算机科学中,卡拉楚巴(Karatsuba)快速乘法算法(1960年)通过重写两个双部分数的乘积,使所需乘法次数从四次减少到三次,从而加速大数乘法,这一技巧正建立在展开 $(a+b)(c+d)$ 型表达式之上。像 $97\times 103$ 这样乘积的心算技巧,则是反过来使用平方差恒等式,把不熟悉的乘法变成简单的减法。

例题: 展开一个面积表达式

一个正方形花园的边长为 $(x+5)$ 米。把它的面积表示为关于 $x$ 的展开多项式,并求 $x=7$ 时的面积。

解答

第一步(识别模式)。边长为 $x+5$ 的正方形面积具有 $a=x$ 、 $b=5$ 时 $(a+b)^2$ 的形式。

第二步(用恒等式展开)。根据 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ,面积为 $x^2+2\cdot x\cdot 5+5^2=x^2+10x+25$ 平方米。

第三步(代入给定的值)。当 $x=7$ 时,面积为 $7^2+10\cdot 7+25=49+70+25=144$ 平方米,这也与直接计算相符: $(7+5)^2=12^2=144$ 。

例题: 利用平方差进行快速心算

把 $97\times 103$ 改写为平方差,然后心算求值。

解答

第一步(把两个因数都写成围绕100的形式)。注意到 $97=100-3$ 且 $103=100+3$ ,所以乘积 $97\times 103$ 具有 $a=100$ 、 $b=3$ 时 $(a-b)(a+b)$ 的形式。

第二步(应用平方差恒等式)。把 $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ 从右往左读作 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ ,乘积等于 $100^2-3^2$ 。

第三步(完成心算)。 $100^2-3^2=10000-9=9991$ ,全程无需直接相乘两个两位数。

利用 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ,取 $53=50+3$ ,计算 $53^2$ 。

利用平方差分解 $x^2-16$ 。

一块正方形田地原边长为 $a$ 米,边长增加 $b$ 米后,面积增加了多少?

用哪个恒等式可以快速心算 $97\times 103$ ?