Biểu thức đại số, hằng đẳng thức

Khai triển $(a+b)^2$ bằng cách coi nó như một phép nhân thông thường tránh được lỗi thường gặp là viết $(a+b)^2=a^2+b^2$; hằng đẳng thức khiến hạng tử chéo $2ab$ bị thiếu không thể bị quên.

Bước 1 (chứng minh đại số bằng khai triển trực tiếp). Dùng luật phân phối hai lần, $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$, vì $a\cdot b$ và $b\cdot a$ là cùng một tích được đếm hai lần.

Bước 2 (chứng minh hình học bằng diện tích). Vẽ một hình vuông cạnh $a+b$. Cắt nó bằng một đường ngang và một đường dọc cách một góc khoảng cách $a$. Điều này chia hình vuông lớn thành bốn mảnh: một hình vuông cạnh $a$ (diện tích $a^2$), một hình vuông cạnh $b$ (diện tích $b^2$), và hai hình chữ nhật kích thước $a\times b$ (mỗi hình diện tích $ab$). Cộng bốn diện tích được $a^2+2ab+b^2$, và vì bốn mảnh này ghép khít lại đúng bằng hình vuông ban đầu, tổng này phải bằng $(a+b)^2$.

Bước 3 (phiên bản hiệu bình phương, bằng phép thế). Thay $b$ bởi $-b$ trong hằng đẳng thức đầu được $(a-b)^2=(a+(-b))^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2$, nên thậm chí không cần một hình minh họa riêng — phép đại số tự động chuyển kết quả sang.

Không như hiệu hai bình phương, hiệu hoặc tổng hai lập phương không thể tách chỉ bằng các nhân tử bậc một; nhân tử bậc hai $a^2\pm ab+b^2$ là không thể tránh khỏi, và nhận ra khuôn mẫu này giúp học sinh phân tích được những biểu thức tưởng như không thể phân tích.

Bước 1 (chứng minh đại số bằng khai triển vế phải). Khai triển $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3$. Các hạng tử giữa $a^2b$ và $-a^2b$ triệt tiêu nhau, cũng như $ab^2$ và $-ab^2$, chỉ còn lại đúng $a^3-b^3$.

Bước 2 (chứng minh hình học bằng thể tích). Lấy một khối lập phương cạnh $a$ (thể tích $a^3$) rồi bỏ đi một khối lập phương nhỏ hơn cạnh $b$ ở một góc (thể tích $b^3$); khối còn lại có thể tích $a^3-b^3$. Khối còn lại này có thể cắt thành ba tấm hình hộp chữ nhật, mỗi tấm dày $a-b$: tấm $a\times a\times(a-b)$, tấm $a\times b\times(a-b)$, và tấm $b\times b\times(a-b)$. Tổng thể tích của chúng là $(a-b)a^2+(a-b)ab+(a-b)b^2=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, khớp đúng với thể tích còn lại.

Bước 3 (phiên bản tổng lập phương, bằng phép thế). Thay $b$ bởi $-b$ trong hằng đẳng thức hiệu lập phương được $a^3-(-b)^3=(a-(-b))(a^2+a(-b)+(-b)^2)$, rút gọn thành $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.