Lớp 10

Ba đường conic

Elip, hypebol và parabol, thu được bằng cách cắt hình nón và định nghĩa bằng phương trình trong mặt phẳng.

Trực giácCắt một hình nón: ba đường cong từ một hình

Lấy một hình nón đôi và cắt nó bằng một mặt phẳng. Nghiêng mặt phẳng một chút, ta được một hình bầu dục khép kín, đó là elip. Nghiêng thêm nữa, song song với một đường sinh của hình nón, hình bầu dục mở ra thành parabol ( $y^2=2px$ ). Nghiêng nhiều hơn nữa, sao cho mặt phẳng cắt cả hai phần của hình nón, ta được hai nhánh của hypebol. Cả ba đường cong này — và cả đường tròn, một elip đặc biệt — đều đến từ cùng một ý tưởng đơn giản: một mặt phẳng gặp một hình nón ở các góc khác nhau.

Chuyển đổi giữa elip

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1

(với hai tiêu điểm

F_1, F_2

và tổng khoảng cách

PF_1+PF_2=2a

), hypebol (kèm đường tiệm cận), và parabol

y^2=2ax

(kèm tiêu điểm và đường chuẩn).

Phổ thôngPhương trình chính tắc trong mặt phẳng

Định nghĩa: Elip

Elip là tập hợp các điểm $P$ trong mặt phẳng có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định $F_1,F_2$ (các tiêu điểm) không đổi: $PF_1+PF_2=2a$ , trong đó $2a$ lớn hơn khoảng cách $F_1F_2$ .

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Ở đây $a>b>0$ ; các đỉnh nằm tại $(\pm a,0)$ và các tiêu điểm là $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ với $c^2=a^2-b^2$ . Số $e=c/a$ là tâm sai, và với elip thì $e<1$ : $e$ càng gần $0$ thì elip càng gần với đường tròn.

Định nghĩa: Hypebol

Hypebol là tập hợp các điểm $P$ có hiệu (giá trị tuyệt đối) khoảng cách đến hai tiêu điểm cố định $F_1,F_2$ không đổi: $|PF_1-PF_2|=2a$ , trong đó $2a$ nhỏ hơn $F_1F_2$ .

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

Bây giờ các tiêu điểm thỏa $c^2=a^2+b^2$ , các đỉnh là $(\pm a,0)$ , và hai nhánh tiến gần đến các đường tiệm cận $y=\pm\frac{b}{a}x$ khi $|x|\to\infty$ . Tâm sai thỏa $e>1$ : các nhánh càng nhọn thì $e$ càng lớn.

Định nghĩa: Parabol

Parabol là tập hợp các điểm $P$ cách đều một điểm cố định $F$ (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Ở vị trí chính tắc với tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ và đường chuẩn $x=-\frac{p}{2}$ , phương trình của nó là $y^2=2px$ với $p>0$ .

y^2=2px

Với mọi điểm trên parabol, khoảng cách đến $F$ bằng khoảng cách đến đường thẳng $x=-\frac{p}{2}$ . Theo quy ước, tâm sai của parabol là $e=1$ , nằm đúng giữa $e<1$ của elip và $e>1$ của hypebol.

Ba đường conic đặt cạnh nhau
Đường cong	Phương trình chính tắc	Tính chất tiêu điểm	Tâm sai
Elip	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$PF_1+PF_2=2a$	$e<1$
Hypebol	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$\|PF_1-PF_2\|=2a$	$e>1$
Parabol	$y^2=2px$	Khoảng cách đến tiêu điểm = khoảng cách đến đường chuẩn	$e=1$

Đại họcĐịnh lý: tính chất tiêu điểm suy từ phương trình

Định lý: Định lý tổng tiêu cự của elip

Nếu $P(x,y)$ nằm trên elip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với các tiêu điểm $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ và $c^2=a^2-b^2$ , thì $PF_1+PF_2=2a$ .

Vì sao đúng?

Đây thực chất là định nghĩa của elip được phát biểu lại: đường cong được dựng nên chính là các điểm có tổng hai khoảng cách tiêu điểm không đổi. Định lý cho thấy hằng số đó là $2a$ , độ dài trục lớn, khớp với phương trình đại số.

Chứng minh

Gọi P(x,y) là một điểm bất kỳ trên elip, đặt r1 = PF1, r2 = PF2. Theo công thức khoảng cách, r1^2 = (x+c)^2 + y^2 và r2^2 = (x-c)^2 + y^2, nên r1^2 - r2^2 = 4cx.

Phân tích vế trái thành (r1-r2)(r1+r2) = 4cx. Vì một điểm trên elip luôn thỏa r1+r2 = s với hằng số dương s nào đó (ta sẽ xác nhận s = 2a bên dưới), suy ra r1 - r2 = 4cx/s.

Cộng và trừ hai hệ thức r1+r2 = s và r1-r2 = 4cx/s, ta được r1 = s/2 + 2cx/s và r2 = s/2 - 2cx/s. Thay r1 trở lại vào r1^2 = (x+c)^2+y^2 và rút gọn bằng y^2 = b^2(1-x^2/a^2) từ phương trình elip, các số hạng x^2 triệt tiêu khi s = 2a và c^2 = a^2-b^2.

Vậy tổng không đổi là s = 2a: mọi điểm của elip đều thỏa PF1+PF2 = 2a, như đã phát biểu.

Định lý: Định lý hiệu tiêu cự của hypebol

Nếu $P(x,y)$ nằm trên hypebol $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với các tiêu điểm $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ và $c^2=a^2+b^2$ , thì $|PF_1-PF_2|=2a$ .

Vì sao đúng?

Cũng như elip được dựng từ tổng tiêu cự không đổi, hypebol được dựng từ hiệu tiêu cự không đổi. Định lý này kiểm chứng rằng phương trình đại số với dấu trừ giữa các số hạng bình phương tạo ra hành vi hiệu không đổi đó, và xác định hằng số chính là $2a$ .

Chứng minh

Gọi P(x,y) là điểm trên nhánh phải (x >= a), đặt r1 = PF1, r2 = PF2. Như trước, r1^2 - r2^2 = (x+c)^2 - (x-c)^2 = 4cx, nên (r1-r2)(r1+r2) = 4cx.

Trên hypebol, hiệu r1-r2 giữ nguyên dấu và, theo tính đối xứng của hai nhánh, có độ lớn bằng một hằng số d nào đó. Viết r1+r2 = 4cx/d và kết hợp với r1-r2 = d ta được r1 = d/2 + 2cx/d.

Thay biểu thức này vào r1^2 = (x+c)^2+y^2 và dùng y^2 = b^2(x^2/a^2-1) từ phương trình hypebol. Khai triển và gom các hệ số x^2, phương trình được thỏa với mọi x khi d = 2a và c^2 = a^2+b^2.

Do đó r1-r2 = 2a trên nhánh phải, và theo lập luận đối xứng gương thì r2-r1 = 2a trên nhánh trái, nên trong mọi trường hợp |PF1-PF2| = 2a.

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Đường conic xuất hiện ở bất cứ đâu một đại lượng vật lý phụ thuộc vào khoảng cách theo cách có kiểm soát. Các hành tinh và vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo elip với thiên thể hút ở một tiêu điểm (định luật thứ nhất của Kepler). Gương parabol và chảo vệ tinh phản xạ mọi tia tới song song với trục về đúng một tiêu điểm, đó là lý do vì sao gương đèn pha xe, gương kính thiên văn và chảo thu sóng radio đều có hình parabol. Hypebol xuất hiện trong các hệ thống định vị như LORAN, nơi hiệu thời gian đến từ hai máy phát cố định đặt máy thu trên một nhánh của hypebol, và trong quỹ đạo của các vật thể chuyển động không giới hạn (như một số sao chổi).

Ví dụ: Tiêu điểm và tâm sai của một elip dạng quỹ đạo

Mặt cắt quỹ đạo elip của một vệ tinh (đơn vị nghìn km) được mô hình bởi $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ . Tìm tọa độ hai tiêu điểm và tâm sai của quỹ đạo.

Lời giải

Từ phương trình, a^2 = 25 và b^2 = 9, nên a = 5 và b = 3 (nghìn km).

Dùng c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16, ta được c = 4, vậy các tiêu điểm là F1(-4,0) và F2(4,0).

Tâm sai là e = c/a = 4/5 = 0,8. Vì e khá gần 1, quỹ đạo này khá dẹt chứ không gần tròn; thiên thể hút (Trái Đất) nằm ở một tiêu điểm, không phải ở tâm.

Ví dụ: Tiêu điểm của chảo vệ tinh dạng parabol

Mặt cắt của một chảo vệ tinh (đơn vị centimet) thỏa $y^2=12x$ . Tìm tiêu điểm, và giải thích vì sao mọi tín hiệu đến song song với trục đều phản xạ về đó.

Lời giải

So sánh $y^2=12x$ với $y^2=2px$ cho $2p=12$ , nên $p=6$ .

Tiêu điểm của parabol ở vị trí này nằm tại $\left(\frac{p}{2},0\right)$ , vậy ở đây là tại $(3,0)$ .

Tính chất phản xạ của parabol nói rằng một tia truyền song song với trục, khi bật ra khỏi đường cong, luôn đổi hướng để đi qua tiêu điểm (và ngược lại, tín hiệu từ tiêu điểm phản xạ thành chùm tia song song). Đây chính là sự kiện hình học được dùng trong các định lý về elip và hypebol ở trên, chuyên biệt hóa cho trường hợp một tiêu điểm bị đẩy ra vô cực.

Vậy mọi sóng radio song song đập vào chảo đều hội tụ về đúng điểm $(3,0)$ , nơi đặt máy thu.

Với elip $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ , tiêu cự nửa $c$ (từ tâm đến một tiêu điểm) bằng bao nhiêu?

Với hypebol $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ , khoảng cách $c$ từ tâm đến mỗi tiêu điểm bằng bao nhiêu?

Đường conic nào có tâm sai $e=1$ ?

Một chảo vệ tinh hình parabol thu các sóng radio truyền đến song song với trục của nó. Nên đặt bộ thu ở đâu để mọi sóng phản xạ đều gặp nhau tại một điểm?