Định lý tổng tiêu cự của elip
Phát biểu
Nếu nằm trên elip với các tiêu điểm và , thì .
Vì sao đúng?
Đây thực chất là định nghĩa của elip được phát biểu lại: đường cong được dựng nên chính là các điểm có tổng hai khoảng cách tiêu điểm không đổi. Định lý cho thấy hằng số đó là , độ dài trục lớn, khớp với phương trình đại số.
Phác thảo chứng minh
Gọi P(x,y) là một điểm bất kỳ trên elip, đặt r1 = PF1, r2 = PF2. Theo công thức khoảng cách, r1^2 = (x+c)^2 + y^2 và r2^2 = (x-c)^2 + y^2, nên r1^2 - r2^2 = 4cx.
Phân tích vế trái thành (r1-r2)(r1+r2) = 4cx. Vì một điểm trên elip luôn thỏa r1+r2 = s với hằng số dương s nào đó (ta sẽ xác nhận s = 2a bên dưới), suy ra r1 - r2 = 4cx/s.
Cộng và trừ hai hệ thức r1+r2 = s và r1-r2 = 4cx/s, ta được r1 = s/2 + 2cx/s và r2 = s/2 - 2cx/s. Thay r1 trở lại vào r1^2 = (x+c)^2+y^2 và rút gọn bằng y^2 = b^2(1-x^2/a^2) từ phương trình elip, các số hạng x^2 triệt tiêu khi s = 2a và c^2 = a^2-b^2.
Vậy tổng không đổi là s = 2a: mọi điểm của elip đều thỏa PF1+PF2 = 2a, như đã phát biểu.
Chủ đề chứa định lý này
Chứng minh từng bước
Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.