Lớp 10

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Mô tả điểm, đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng bằng tọa độ số và phương trình.

Trực giácBiến hình học thành đại số

Trong một thành phố được quy hoạch theo mạng lưới ô vuông đánh số, bạn có thể xác định vị trí của bất kỳ tòa nhà nào chỉ bằng hai con số: bao nhiêu dãy phố về phía đông và bao nhiêu dãy phố về phía bắc tính từ quảng trường trung tâm. Hình học tọa độ áp dụng đúng ý tưởng đó cho mặt phẳng Euclid: bằng cách cố định hai trục số vuông góc cắt nhau tại gốc tọa độ, mỗi điểm trở thành một cặp số có thứ tự, mỗi đường thẳng trở thành một phương trình bậc nhất, và mỗi đường tròn trở thành một phương trình bậc hai. Các câu hỏi hình học về giao điểm, khoảng cách và tiếp tuyến đều chuyển thành phép tính đại số.

Đường thẳng

y = ax + c

trong mặt phẳng tọa độ: thanh trượt

a

là hệ số góc (độ cao tăng thêm sau mỗi bước một đơn vị, thể hiện bằng tam giác nét đứt) và thanh trượt

c

là tung độ gốc trên trục

Oy

; điểm đỏ là giao điểm của đường thẳng với trục

Ox

. Tên thanh trượt theo widget, không phải các hệ số của

ax + by + c = 0

trong bài.

Phổ thôngTọa độ, đường thẳng và đường tròn

Định nghĩa: Tọa độ Descartes và công thức khoảng cách

Trong mặt phẳng Descartes $Oxy$ với hai vectơ đơn vị cơ sở $\vec{i}=(1,0)$ và $\vec{j}=(0,1)$ , mỗi điểm $M$ có tọa độ duy nhất $M(x,y)$ xác định bởi $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$ . Với hai điểm $A(x_1,y_1)$ và $B(x_2,y_2)$ , vectơ độ dời là $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ , trung điểm của đoạn $AB$ là $I\!\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ , và khoảng cách giữa $A$ và $B$ là $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .

\Delta:\; ax + by + c = 0 \quad (a^2+b^2 > 0), \qquad d(M_0, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Mọi đường thẳng $\Delta$ trong mặt phẳng đều viết được dưới dạng phương trình tổng quát $ax+by+c=0$ với $a^2+b^2>0$ . Vectơ khác không $\vec{n}=(a,b)$ là một vectơ pháp tuyến vuông góc với $\Delta$ , còn $\vec{u}=(-b,a)$ là một vectơ chỉ phương song song với $\Delta$ vì $\vec{n}\cdot\vec{u}=a(-b)+ba=0$ . Khoảng cách vuông góc từ điểm bất kỳ $M_0(x_0,y_0)$ đến đường thẳng $\Delta$ được cho bởi $d(M_0,\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \iff x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 \quad (R = \sqrt{a^2+b^2-c} > 0)

Đường tròn tâm $I(a,b)$ bán kính $R>0$ gồm tất cả các điểm $M(x,y)$ cách $I$ một khoảng $R$ ; bình phương $IM=R$ cho phương trình chính tắc của đường tròn $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ . Khai triển các bình phương ta được dạng khai triển $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ ; phương trình này biểu diễn một đường tròn thực khi và chỉ khi $a^2+b^2-c>0$ , với tâm $I(a,b)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$ .

Tổng hợp các công thức tọa độ trong mặt phẳng
Đối tượng hình học	Phương trình / công thức tọa độ	Tham số đặc trưng
Độ dài đoạn thẳng	$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$	Hai đầu mút $A(x_1,y_1)$ và $B(x_2,y_2)$
Đường thẳng tổng quát	$ax+by+c=0$	Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a,b)$ , vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-b,a)$
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng	$d(M_0,\Delta)=\dfrac{\|ax_0+by_0+c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}$	Điểm $M_0(x_0,y_0)$ và đường thẳng $\Delta: ax+by+c=0$
Đường tròn	$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$	Tâm $I(a,b)$ và bán kính $R>0$

Đại họcCác định lý trọng tâm

Định lý: Công thức khoảng cách Euclid trong mặt phẳng

Với hai điểm bất kỳ $A(x_1,y_1)$ và $B(x_2,y_2)$ trong mặt phẳng Descartes, khoảng cách giữa chúng là $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .

Vì sao đúng?

Kẻ các đường thẳng song song với hai trục tọa độ từ $A$ và $B$ sẽ tạo thành một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài $|x_2-x_1|$ và $|y_2-y_1|$ , nên cạnh huyền $AB$ suy ra trực tiếp từ Định lý Pythagore.

Chứng minh

Xét điểm phụ $C(x_2,y_1)$ có cùng tọa độ thứ hai $y_1$ với $A(x_1,y_1)$ và cùng tọa độ thứ nhất $x_2$ với $B(x_2,y_2)$ .

Đoạn thẳng $AC$ song song với trục thứ nhất và có độ dài $AC=|x_2-x_1|$ , còn đoạn thẳng $CB$ song song với trục thứ hai và có độ dài $CB=|y_2-y_1|$ . Vì hai trục tọa độ vuông góc với nhau nên $\angle ACB=90^\circ$ .

Áp dụng Định lý Pythagore cho tam giác vuông $\triangle ACB$ ta được $AB^2=AC^2+CB^2=|x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$ . Lấy căn bậc hai không âm cho ta $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ (công thức vẫn đúng cả khi $x_1=x_2$ hoặc $y_1=y_2$ ).

Định lý: Công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách vuông góc từ điểm $M_0(x_0,y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: ax+by+c=0$ (với $a^2+b^2>0$ ) là $d(M_0,\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

Vì sao đúng?

Đoạn ngắn nhất từ $M_0$ đến $\Delta$ nằm dọc theo phương pháp tuyến $\vec{n}=(a,b)$ , nên chiếu vectơ nối một điểm trên $\Delta$ tới $M_0$ lên vectơ pháp tuyến đơn vị $\dfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ sẽ đo chính xác khoảng cách vuông góc.

Chứng minh

Gọi $H(x_H,y_H)$ là hình chiếu vuông góc của $M_0(x_0,y_0)$ lên $\Delta$ . Vì $\overrightarrow{HM_0}$ cùng phương với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a,b)$ nên tồn tại số thực $t\in\mathbb{R}$ sao cho $\overrightarrow{HM_0}=t\vec{n}=(ta,tb)$ , suy ra $x_H=x_0-ta$ và $y_H=y_0-tb$ .

Do $H$ nằm trên $\Delta$ nên tọa độ của nó thỏa mãn $ax_H+by_H+c=0$ . Thay $x_H$ và $y_H$ vào ta được $a(x_0-ta)+b(y_0-tb)+c=0$ , hay $ax_0+by_0+c-t(a^2+b^2)=0$ .

Giải tìm $t$ cho ta $t=\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ . Vậy khoảng cách cần tìm là $d(M_0,\Delta)=|\overrightarrow{HM_0}|=|t|\,|\vec{n}|=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Hình học tọa độ là nền tảng của hệ thống thông tin địa lý (GIS), dẫn đường tự hành và phát hiện va chạm trong robot học. Bằng cách biểu diễn các tuyến đường thành phương trình đường thẳng và vùng phủ sóng hay vùng an toàn thành phương trình đường tròn, phần mềm có thể tính ngay lập tức xem một phương tiện có lệch khỏi lộ trình hoặc đi vào bán kính giới hạn hay không.

Ví dụ: Đường nối ngắn nhất từ trạm đến đường cao tốc

Trên bản đồ tọa độ (đơn vị kilômét), một đường cao tốc thẳng đi theo đường thẳng $\Delta: 3x+4y-12=0$ và một trạm cứu hộ đặt tại $M_0(4,5)$ . Tìm chiều dài đoạn đường nối thẳng ngắn nhất từ $M_0$ tới đường cao tốc $\Delta$ .

Lời giải

Đoạn đường ngắn nhất từ $M_0(4,5)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x+4y-12=0$ là đoạn vuông góc, có độ dài được tính bằng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng với $a=3$ , $b=4$ và $c=-12$ .

Thay $(x_0,y_0)=(4,5)$ vào công thức ta được $d(M_0,\Delta)=\dfrac{|3(4)+4(5)-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|12+20-12|}{\sqrt{25}}=\dfrac{20}{5}=4$ km.

Ví dụ: Đường tròn phủ sóng radar và đường bay tiếp tuyến

Một trạm radar đặt tại $I(1,-2)$ theo dõi máy bay trong bán kính $R=5$ km. Viết phương trình đường tròn ranh giới phủ sóng và kiểm tra xem một máy bay bay dọc theo đường thẳng $\Delta: 3x-4y-20=0$ có tiếp xúc với ranh giới đó hay không.

Lời giải

Với tâm $I(1,-2)$ và bán kính $R=5$ , đường tròn ranh giới phủ sóng có phương trình $(x-1)^2+(y+2)^2=25$ .

Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm $I(1,-2)$ đến $\Delta$ bằng $R$ . Tính khoảng cách này ta có $d(I,\Delta)=\dfrac{|3(1)-4(-2)-20|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\dfrac{|3+8-20|}{5}=\dfrac{9}{5}=1.8$ km. Vì $d(I,\Delta)=1.8<5=R$ nên đường bay cắt qua phần bên trong vùng radar chứ không tiếp xúc.

Khoảng cách $AB$ giữa hai điểm $A(-1,2)$ và $B(2,6)$ bằng bao nhiêu?

Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của đường thẳng $\Delta: 2x-5y+7=0$ ?

Khoảng cách vuông góc từ điểm $M_0(1,2)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x+4y-6=0$ bằng bao nhiêu?

Một bộ phát Wi-Fi đặt tại $I(3,-4)$ phủ sóng một vùng hình tròn bán kính $R=6$ m. Phương trình nào mô tả đường tròn ranh giới vùng phủ sóng của nó?

Tài liệu tham khảo

René Descartes (trans. David Eugene Smith, Marcia L. Latham) (1954). The Geometry of René Descartes
H. S. M. Coxeter (1969). Introduction to Geometry